Concepto de derivada

La derivada de una función $f$ en un punto $x = a$ mide la tasa de variación instantánea de $f$ en ese punto. Geométricamente, es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto $(a, f(a))$.

Definición como límite

La derivada de $f$ en $a$ se define como el siguiente límite, si existe y es finito:

$$ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} $$

Una definición equivalente, haciendo tender la variable al punto, es:

$$ f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} $$

Si el límite existe, decimos que $f$ es derivable en $a$.

Interpretación geométrica

  • La recta secante que pasa por $(a, f(a))$ y $(a + h, f(a+h))$ tiene pendiente $\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$.
  • Cuando $h \to 0$, el punto $(a+h, f(a+h))$ se aproxima a $(a, f(a))$ y la secante tiende a la recta tangente.
  • Por tanto, $f'(a)$ es la pendiente de la tangente a la gráfica en $x = a$.

Función derivada

Si $f$ es derivable en todos los puntos de un intervalo $I$, queda definida la función derivada $f'$, que a cada $x \in I$ le asigna el valor $f'(x)$.

resuelto: derivada de $f(x) = x^2$ en $x = 3$ usando la definición

Aplicamos la definición con $a = 3$:

$$ f'(3) = \lim_{h \to 0} \frac{(3+h)^2 - 3^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{9 + 6h + h^2 - 9}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{6h + h^2}{h} $$

Simplificando (dividiendo numerador y denominador entre $h \neq 0$):

$$ f'(3) = \lim_{h \to 0} (6 + h) = 6 $$

La pendiente de la recta tangente a $y = x^2$ en el punto $(3, 9)$ es $6$.

Derivabilidad y continuidad

  • Si $f$ es derivable en $a$, entonces $f$ es continua en $a$.
  • El recíproco no es cierto: la función $f(x) = |x|$ es continua en $0$, pero no es derivable en $0$, porque las pendientes laterales no coinciden ($-1$ por la izquierda y $1$ por la derecha).

Errores comunes

  • Confundir $f'(a)$ con $f(a)$: la derivada es un límite de cocientes incrementales, no el valor de la función.
  • Olvidar que el límite debe existir y ser finito para que exista la derivada.
  • Intentar derivar en puntos que no pertenecen al dominio de la función.

1. La derivada de una función $f$ en un punto $a$ se define como: (1 puntos)

2. Geométricamente, el valor de $f'(a)$ representa: (1 puntos)

3. Usando la definición de derivada (o las reglas), calcula $f'(2)$ para la función $f(x) = x^2$. (1 puntos)

4. Si una función $f$ es derivable en $x = a$, ¿qué podemos afirmar con seguridad? (1 puntos)

5. Calcula $f'(1)$ para la función $f(x) = x^3 - 2x$. (1 puntos)

6. Para la función $f(x) = x^2 - 3x$, calcula la derivada en los puntos indicados. (1 puntos)

a ) $f'(1)$

b ) $f'(4)$