Crecimiento y decrecimiento
El signo de la derivada determina la monotonía de una función:
| Signo de $f'(x)$ en un intervalo | Comportamiento de $f$ |
|---|---|
| $f'(x) > 0$ | $f$ es creciente |
| $f'(x) < 0$ | $f$ es decreciente |
| $f'(x) = 0$ en todo el intervalo | $f$ es constante |
Intuitivamente, la derivada es la pendiente de la tangente: si la tangente "sube" ($f' > 0$), la función crece; si "baja" ($f' < 0$), decrece.
Procedimiento para estudiar la monotonía
1. Hallar $f'(x)$. 2. Resolver $f'(x) = 0$ para obtener los puntos críticos y añadir los puntos donde $f'$ no existe o la función no está definida. 3. Dividir el dominio en intervalos usando esos puntos. 4. Evaluar el signo de $f'$ en un punto de prueba de cada intervalo. 5. Escribir la conclusión: intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
monotonía de $f(x) = x^3 - 3x$
$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1)$.
Los puntos críticos son $x = -1$ y $x = 1$. Estudiamos el signo de $f'$:
| Intervalo | $(-\infty, -1)$ | $(-1, 1)$ | $(1, \infty)$ |
|---|---|---|---|
| Signo de $f'$ | $+$ | $-$ | $+$ |
| $f$ | creciente | decreciente | creciente |
La función crece en $(-\infty, -1) \cup (1, \infty)$ y decrece en $(-1, 1)$. Además, en $x = -1$ hay un máximo relativo y en $x = 1$, un mínimo relativo.
monotonía de $f(x) = x^2 - 4x$
$f'(x) = 2x - 4$, punto crítico $x = 2$.
Para $x < 2$, $f'(x) < 0$: decreciente en $(-\infty, 2)$. Para $x > 2$, $f'(x) > 0$: creciente en $(2, \infty)$. La función tiene un mínimo relativo en $x = 2$.
Errores comunes
- Confundir el signo de $f$ con el signo de $f'$: lo que importa para la monotonía es $f'$.
- Olvidar los puntos donde $f'$ no existe o donde $f$ no está definida al partir el dominio.
- Escribir los intervalos sin comprobar el signo en un punto de prueba de cada uno.