Derivada de la función compuesta (regla de la cadena)

Si $f$ es derivable en $x$ y $g$ es derivable en $f(x)$, entonces la función compuesta $g \circ f$ es derivable en $x$ y se cumple la regla de la cadena:

$$ (g \circ f)'(x) = g'(f(x)) \cdot f'(x) $$

En palabras: la derivada de la función exterior evaluada en la interior, multiplicada por la derivada de la función interior.

Casos frecuentes

Con $u = u(x)$ una función derivable:

FunciónDerivada
$u^n$$n \cdot u^{n-1} \cdot u'$
$\sqrt{u}$$\frac{u'}{2\sqrt{u}}$
$\sin u$$\cos u \cdot u'$
$\cos u$$-\sin u \cdot u'$
$e^u$$e^u \cdot u'$
$\ln u$$\frac{u'}{u}$
derivada de $f(x) = (2x + 1)^3$

La función exterior es $u^3$ con $u = 2x + 1$:

$$ f'(x) = 3(2x+1)^2 \cdot (2x+1)' = 3(2x+1)^2 \cdot 2 = 6(2x+1)^2 $$
derivada de $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$
$$ f'(x) = \frac{(x^2 + 1)'}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} $$
derivada de $f(x) = \sin(3x)$
$$ f'(x) = \cos(3x) \cdot (3x)' = 3\cos(3x) $$

Errores comunes

  • Olvidar multiplicar por la derivada de la función interior $u'$.
  • Derivar $(2x+1)^3$ como $3(2x+1)^2$ sin el factor $2$ que aporta $(2x+1)'$.
  • En raíces, olvidar que $\sqrt{u}$ se deriva como $u^{1/2}$ y aplicar la regla de la potencia: $\frac{1}{2}u^{-1/2} \cdot u' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$.

1. La regla de la cadena para la función compuesta $g(f(x))$ establece que su derivada es: (1 puntos)

2. Calcula $f'(0)$ para la función $f(x) = (3x + 1)^2$. (1 puntos)

3. Calcula $f'(0)$ para la función $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$. (1 puntos)

4. La derivada de la función $f(x) = \sin(2x)$ es: (1 puntos)

5. La derivada de $f(x) = e^{3x}$ es: (1 puntos)

6. Derivada de la función $f(x) = (x^2 + 1)^3$ en los puntos indicados. (1 puntos)

a ) $f'(0)$

b ) $f'(1)$

7. Calcula $f'(1)$ para la función $f(x) = \ln(x^2)$ (recuerda que $(\ln u)' = u'/u$). (1 puntos)