Estudio completo de funciones

Para representar una función hay que seguir un esquema ordenado que garantice que no se pierde información importante.

Pasos del estudio

1. Dominio: valores de $x$ donde $f$ está definida (denominadores $\neq 0$, radicandos $\geq 0$ si el índice es par, argumentos de logaritmos $> 0$). 2. Cortes con los ejes: con $OY$, $x = 0 \Rightarrow y = f(0)$; con $OX$, resolver $f(x) = 0$. 3. Simetrías: si $f(-x) = f(x)$ es par (simétrica respecto al eje $OY$); si $f(-x) = -f(x)$ es impar (simétrica respecto al origen). 4. Asíntotas: - Verticales en $x = a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ (suele ocurrir donde se anula el denominador). - Horizontales en $y = L$ si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$. - Oblicuas $y = mx + n$ si el límite es infinito: $m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ y $n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx)$. 5. Monotonía y extremos: signo de $f'$; máximos y mínimos relativos. 6. Curvatura: signo de $f''$; donde $f'' > 0$ la función es cóncava hacia arriba ($\cup$) y donde $f'' < 0$, cóncava hacia abajo ($\cap$). Si $f''$ cambia de signo y $f$ es continua, hay un punto de inflexión. 7. Representación gráfica con todos los datos anteriores.

estudio de $f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 1}$

Dominio: $x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$.

Cortes: con $OY$, $f(0) = 0$; con $OX$, $\frac{x^2}{x^2-1} = 0 \Rightarrow x = 0$. Único corte: $(0, 0)$.

Simetría: $f(-x) = f(x)$, función par.

Asíntotas: verticales en $x = -1$ y $x = 1$. Horizontal: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{x^2 - 1} = 1$, luego $y = 1$.

Monotonía: $f'(x) = \frac{-2x}{(x^2 - 1)^2}$. Se anula en $x = 0$: creciente en $(-\infty, -1) \cup (-1, 0)$ y decreciente en $(0, 1) \cup (1, \infty)$. En $(0, 0)$ hay un máximo relativo.

Curvatura: $f''(x) = \frac{6x^2 + 2}{(x^2 - 1)^3}$ no se anula; la concavidad cambia solo en las asíntotas $x = \pm 1$ (no hay puntos de inflexión en el dominio).

Errores comunes

  • Olvidar comprobar que el numerador no se anula donde lo hace el denominador antes de afirmar que hay asíntota vertical.
  • Confundir los intervalos de monotonía al no incluir los puntos donde la función no está definida.
  • Dibujar la gráfica cruzando las asíntotas horizontales en el tramo central (puede cruzarlas; la asíntota describe el comportamiento en el infinito).

1. El dominio de la función $f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 1}$ es: (1 puntos)

2. La recta $x = 1$ es una asíntota de la función $f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 1}$. ¿De qué tipo? (1 puntos)

3. ¿Cuál es la asíntota horizontal de $f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 1}$? (responde con el valor de $y$) (1 puntos)

4. Para hallar las asíntotas verticales de una función racional, el primer paso es: (1 puntos)

5. ¿En qué punto $x$ tiene su máximo relativo la función $f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 1}$? (1 puntos)

6. Estudia la función $f(x) = x^3 - 3x$ e indica: (1 puntos)

a ) El punto $x$ donde hay un máximo relativo

b ) El punto $x$ donde hay un mínimo relativo