Máximos y mínimos

Un punto $x = a$ es un máximo relativo (o local) de $f$ si existe un entorno de $a$ donde $f(x) \leq f(a)$ para todo $x$ de ese entorno. Análogamente, $a$ es un mínimo relativo si $f(x) \geq f(a)$ en un entorno.

Teorema de Fermat (condición necesaria)

Si $f$ es derivable en $a$ y $a$ es un extremo relativo, entonces:

$$ f'(a) = 0 $$

Los puntos donde $f'(x) = 0$ (o donde $f'$ no existe) se llaman puntos críticos. No todo punto crítico es un extremo: hay que comprobarlo.

Criterio de la primera derivada

Se estudia el signo de $f'$ a la izquierda y a la derecha del punto crítico $a$:

Signo de $f'$	Tipo de punto
$+$ a la izquierda, $-$ a la derecha	Máximo relativo
$-$ a la izquierda, $+$ a la derecha	Mínimo relativo
Mismo signo a ambos lados	Punto de inflexión (no es extremo)

Criterio de la segunda derivada

Si $f'(a) = 0$ y $f$ es dos veces derivable:

Si $f''(a) < 0$, en $a$ hay un máximo relativo.
Si $f''(a) > 0$, en $a$ hay un mínimo relativo.
Si $f''(a) = 0$, el criterio no decide.

Extremos absolutos en intervalos cerrados

Por el teorema de Weierstrass, una función continua en un intervalo cerrado $[a, b]$ alcanza su máximo y su mínimo absolutos. Para hallarlos:

1. Calcular los puntos críticos de $f$ en el interior de $[a, b]$. 2. Evaluar $f$ en los puntos críticos y en los extremos $a$ y $b$. 3. El mayor valor es el máximo absoluto y el menor, el mínimo absoluto.

extremos de $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$

$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$, puntos críticos: $x = 0$ y $x = 2$.

$f''(x) = 6x - 6$: en $x = 0$, $f''(0) = -6 < 0$ → máximo relativo en $(0, 2)$.

En $x = 2$, $f''(2) = 6 > 0$ → mínimo relativo en $(2, -2)$.

Errores comunes

Dar por hecho que si $f'(a) = 0$ hay un extremo (hay que comprobar el signo o la segunda derivada).
Confundir extremos relativos con absolutos.
Olvidar evaluar los extremos del intervalo al buscar extremos absolutos.

1. Si $f'(a) = 0$ y $f''(a) < 0$, entonces en $x = a$ la función tiene: (1 puntos)

Un máximo relativo Un mínimo relativo Un punto de inflexión Una asíntota vertical

Retroalimentación: Según el criterio de la segunda derivada, $f''(a) < 0$ indica que la función es cóncava hacia abajo en $a$: hay un máximo relativo.

2. ¿En qué punto $x$ alcanza su mínimo relativo la función $f(x) = x^2 - 4x$? (1 puntos)

Retroalimentación: $f'(x) = 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$. Como $f''(x) = 2 > 0$, es un mínimo relativo.

3. Para la función $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$, indica en qué punto hay cada extremo relativo. (1 puntos)

a ) Punto $x$ del máximo relativo

b ) Punto $x$ del mínimo relativo

Retroalimentación: Los puntos críticos son $x = 0$ y $x = 2$. La segunda derivada $f''(x) = 6x - 6$ decide: máximo en $x = 0$ y mínimo en $x = 2$.

4. El teorema de Weierstrass afirma que toda función continua en un intervalo cerrado $[a, b]$: (1 puntos)

Alcanza su máximo y su mínimo absolutos en $[a, b]$ Es derivable en todos los puntos de $[a, b]$ Tiene al menos un punto crítico en $[a, b]$ Alcanza su máximo absoluto en un punto interior

Retroalimentación: La continuidad en un intervalo cerrado garantiza la existencia de extremos absolutos. La derivabilidad no está asegurada, por lo que las otras opciones son falsas.

5. ¿Cuál es el máximo absoluto de la función $f(x) = x^2$ en el intervalo cerrado $[-2, 1]$? (1 puntos)

Retroalimentación: Los candidatos son el punto crítico $x = 0$ (con $f(0) = 0$) y los extremos del intervalo: $f(-2) = 4$ y $f(1) = 1$. El máximo absoluto es $4$.

6. Según el criterio de la segunda derivada, si $f'(a) = 0$ y $f''(a) > 0$, en $x = a$ hay un... (1 puntos)

Retroalimentación: $f''(a) > 0$ indica que la función es cóncava hacia arriba en $a$: hay un mínimo relativo.