Recta tangente
Si $f$ es derivable en $x = a$, la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto $P = (a, f(a))$ es la recta que pasa por $P$ y tiene pendiente $m = f'(a)$.
Su ecuación es:
$$
y - f(a) = f'(a) \cdot (x - a)
$$
o, despejada:
$$
y = f(a) + f'(a) \cdot (x - a)
$$
Recta normal
La recta normal es la perpendicular a la tangente en el punto de tangencia. Como el producto de pendientes de rectas perpendiculares es $-1$, su pendiente es:
$$
m_n = -\frac{1}{f'(a)} \quad \text{(si } f'(a) \neq 0\text{)}
$$
Su ecuación: $y - f(a) = -\frac{1}{f'(a)} (x - a)$.
tangente a $f(x) = x^2$ en $x = 1$
$f(1) = 1$ y $f'(x) = 2x$, luego $f'(1) = 2$. La tangente es:
$$
y - 1 = 2(x - 1) \quad \Rightarrow \quad y = 2x - 1
$$
La recta normal tiene pendiente $-\frac{1}{2}$:
$$
y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1) \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2}
$$
tangente a $f(x) = x^3$ en $x = 1$
$f(1) = 1$ y $f'(x) = 3x^2$, luego $f'(1) = 3$:
$$
y - 1 = 3(x - 1) \quad \Rightarrow \quad y = 3x - 2
$$
La recta $y = 3x - 2$ corta al eje $OY$ en $(0, -2)$.
Uso de la recta tangente
- La tangente es la mejor aproximación lineal de la función cerca del punto de tangencia.
- Se usa para aproximar valores: si $h$ es pequeño, $f(a + h) \approx f(a) + f'(a) \cdot h$.
Errores comunes
- Usar el punto $(a, 0)$ en lugar de $(a, f(a))$: la tangente pasa por el punto de la curva.
- Confundir la pendiente $f'(a)$ con la ordenada $f(a)$.
- En la recta normal, olvidar el signo negativo y el inverso de la pendiente.