Reglas de derivación
Las reglas de derivación permiten calcular la derivada de una función sin usar cada vez el límite de la definición. Se apoyan en la tabla de derivadas de las funciones elementales.
Derivadas de funciones elementales
| Función | Derivada |
|---|---|
| $k$ (constante) | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n$ | $n \cdot x^{n-1}$ |
| $\sqrt{x}$ | $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ |
| $\frac{1}{x}$ | $-\frac{1}{x^2}$ |
| $\sin x$ | $\cos x$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $\ln x$ | $\frac{1}{x}$ |
Reglas de derivación
Si $u$ y $v$ son funciones derivables y $k$ es una constante:
- Constante por función: $(k \cdot u)' = k \cdot u'$
- Suma y resta: $(u \pm v)' = u' \pm v'$
- Producto: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$
- Cociente: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}$, con $v \neq 0$
derivada de $f(x) = 3x^5 - 2x^2 + 7$
$$
f'(x) = 3 \cdot 5x^4 - 2 \cdot 2x + 0 = 15x^4 - 4x
$$
Hemos aplicado la derivada de la potencia y la linealidad de la derivada.
derivada de $f(x) = (x^2 + 1)(x - 3)$ con la regla del producto
Con $u = x^2 + 1$ y $v = x - 3$:
$$
f'(x) = u' \cdot v + u \cdot v' = 2x \cdot (x - 3) + (x^2 + 1) \cdot 1
$$
$$
f'(x) = 2x^2 - 6x + x^2 + 1 = 3x^2 - 6x + 1
$$
derivada de $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ con la regla del cociente
Con $u = x$ y $v = x^2 + 1$:
$$
f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2 + 1) - x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}
$$
Errores comunes
- Derivar $x^n$ como $x^{n-1}$ olvidando multiplicar por $n$.
- Aplicar la regla del producto como si fuera la de la suma: la derivada del producto no es $u' \cdot v'$.
- En la regla del cociente, olvidar el cuadrado del denominador o confundir el orden del numerador.