Parámetros de centralización: media $\bar{x}=\dfrac{\sum x_i}{n}$, mediana (dato central) y moda (dato más frecuente).
Parámetros de dispersión: varianza $\sigma^2=\dfrac{\sum (x_i-\bar{x})^2}{n}=\dfrac{\sum x_i^2}{n}-\bar{x}^2$, desviación típica $\sigma=\sqrt{\sigma^2}$ y coeficiente de variación $CV=\dfrac{\sigma}{|\bar{x}|}$.
Estadística bidimensional: covarianza $\sigma_{xy}=\dfrac{\sum x_i y_i}{n}-\bar{x}\cdot\bar{y}$, recta de regresión de $Y$ sobre $X$: $y=\bar{y}+\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^2}(x-\bar{x})$.
Coeficiente de correlación de Pearson: $r=\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x\cdot\sigma_y}$, con $-1\le r\le 1$. Si $|r|$ es próximo a 1 la relación lineal es fuerte; si $r>0$ es directa y si $r<0$ es inversa. Cuanto más se aproxime $|r|$ a 0, más débil es la relación.
1. El coeficiente de correlación de Pearson mide:
(1 punto)
Retroalimentación: El coeficiente de correlación $r$ toma valores entre $-1$ y $1$ e indica cuán fuerte es la relación lineal entre dos variables y si es directa ($r>0$) o inversa ($r<0$). No mide la pendiente de la recta de regresión ni compara medias.
2. Halla la media aritmética de los datos: 2, 4, 6, 8, 10, 12.
(1.5 puntos)
Retroalimentación: La media es $\bar{x}=\dfrac{2+4+6+8+10+12}{6}=\dfrac{42}{6}=7$.
3. Dados los datos 1, 3, 5, 7, 9, calcula:
(1.5 puntos)
a
)
Apartado a) La media aritmética.
b
)
Apartado b) La varianza poblacional.
Retroalimentación: La media es $\bar{x}=\dfrac{1+3+5+7+9}{5}=\dfrac{25}{5}=5$. La varianza es $\sigma^2=\dfrac{(1-5)^2+(3-5)^2+(5-5)^2+(7-5)^2+(9-5)^2}{5}=\dfrac{16+4+0+4+16}{5}=\dfrac{40}{5}=8$.
4. Dados los datos ordenados 3, 5, 7, 9, 11, 13, calcula la mediana.
(1.5 puntos)
Retroalimentación: Hay 6 datos (número par), así que la mediana es la media de los dos valores centrales: $\dfrac{7+9}{2}=\dfrac{16}{2}=8$.
5. La moda de los datos 2, 3, 3, 5, 7, 7, 7, 9 es:
(1 punto)
Retroalimentación: La moda es el valor que más se repite. El 7 aparece 3 veces, más que cualquier otro dato, así que la moda es 7.
6. La recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y=1.5x+2$. Utilízala para predecir:
(1.5 puntos)
a
)
Apartado a) El valor de $y$ para $x=4$.
b
)
Apartado b) El valor de $y$ para $x=10$.
Retroalimentación: Sustituimos en la recta: para $x=4$, $y=1.5\cdot 4+2=6+2=8$; para $x=10$, $y=1.5\cdot 10+2=15+2=17$.
7. Si el coeficiente de correlación entre dos variables es $r=-0.9$, la relación entre ellas es:
(1 punto)
Retroalimentación: Como $|r|=0.9$ está próximo a 1, la relación lineal es fuerte, y como $r<0$, es inversa: cuando una variable crece, la otra tiende a decrecer.
8. En una distribución bidimensional, la media de $X$ es 5 y la media de $Y$ es 8. Calcula la media de la variable $X+Y$.
(1 punto)
Retroalimentación: La media es lineal: $\overline{X+Y}=\bar{x}+\bar{y}=5+8=13$.