Medidas de centralización

Las medidas de centralización (o de tendencia central) resumen un conjunto de datos con un valor "típico" alrededor del cual se agrupan las observaciones. Las tres principales son la media aritmética, la mediana y la moda.

Media aritmética $\bar{x}$

Es el promedio de todos los datos. Para datos no agrupados:

$$ \bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} $$

Para datos agrupados en intervalos se usa la marca de clase $x_i$ (punto medio de cada intervalo):

$$ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i \cdot n_i}{N} $$

donde $n_i$ es la frecuencia absoluta de cada intervalo, $N = \sum n_i$ el número total de datos y $k$ el número de intervalos. La media usa todos los datos, pero es muy sensible a los valores atípicos.

resuelto: notas de 8 alumnos: 4, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 9

$\bar{x} = \frac{4 + 5 + 5 + 6 + 7 + 8 + 8 + 9}{8} = \frac{52}{8} = 6{,}5$

La nota media es 6,5.

Mediana (Me)

Es el valor que, con los datos ordenados de menor a mayor, deja el 50% de los datos por debajo y el 50% por encima.

Si $n$ es impar, la mediana es el dato que ocupa la posición $\frac{n+1}{2}$.
Si $n$ es par, la mediana es la media de los dos datos centrales (posiciones $\frac{n}{2}$ y $\frac{n}{2}+1$).

Para datos agrupados se interpola en el intervalo donde la frecuencia acumulada supera $N/2$:

$$ Me = L_i + \frac{\frac{N}{2} - F_{i-1}}{n_i} \cdot a $$

siendo $L_i$ el límite inferior del intervalo mediano, $F_{i-1}$ la frecuencia acumulada anterior, $n_i$ su frecuencia y $a$ su amplitud. La mediana no se ve afectada por valores extremos.

Moda (Mo)

Es el valor (o intervalo) con mayor frecuencia. Puede haber varias modas (bimodal, multimodal) o ninguna (serie amodal). Para datos agrupados, el intervalo modal es el de mayor frecuencia absoluta. Es la única medida de centralización válida para datos cualitativos.

Comparación y criterio de elección

Medida	Usa todos los datos	Afectada por atípicos	Uso recomendado
Media	Sí	Mucho	Distribuciones simétricas sin atípicos
Mediana	No	Poco	Datos asimétricos o con atípicos
Moda	No	No	Datos cualitativos o valor más frecuente

En una distribución simétrica, las tres coinciden. Si la media es mayor que la mediana, la distribución es asimétrica a la derecha (cola hacia valores altos); si es menor, asimétrica a la izquierda.

completo: datos {2, 3, 3, 5, 5, 5, 7, 9}

Moda: el 5 aparece 3 veces, más que ningún otro: $Mo = 5$.
Mediana: $n = 8$ (par); los datos centrales son el 4º y 5º: 5 y 5. $Me = \frac{5+5}{2} = 5$.
Media: $\bar{x} = \frac{2+3+3+5+5+5+7+9}{8} = \frac{39}{8} = 4{,}875$.

Como $\bar{x} < Me = Mo$, la distribución es ligeramente asimétrica a la izquierda (los valores bajos 2 y 3 arrastran la media).