Medidas de dispersión

Las medidas de centralización no bastan para describir una distribución: dos series pueden tener la misma media y ser muy distintas. Las medidas de dispersión cuantifican cuánto se separan los datos del valor central.

Rango

Es la diferencia entre el valor máximo y el mínimo:

$$ R = x_{max} - x_{min} $$

Es la medida más simple, pero solo usa dos datos y es muy sensible a valores atípicos.

Desviación media

Es la media de las distancias (en valor absoluto) de cada dato a la media:

$$ DM = \frac{\sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|}{n} $$

Varianza y desviación típica

La varianza es la media de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media. Para una población:

$$ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n} $$

Para una muestra se divide entre $n-1$ (corrección de Bessel), porque así se obtiene un estimador insesgado de la varianza poblacional:

$$ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1} $$

La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza ($\sigma = \sqrt{\sigma^2}$, $s = \sqrt{s^2}$) y tiene las mismas unidades que los datos. Una fórmula abreviada muy útil es:

$$ \sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \bar{x}^2 $$

Coeficiente de variación

Para comparar la dispersión de series con distintas medias o unidades, se usa el coeficiente de variación (en %):

$$ CV = \frac{\sigma}{|\bar{x}|} \cdot 100 $$
resuelto: datos {4, 6, 8, 10, 12}

$\bar{x} = \frac{4+6+8+10+12}{5} = \frac{40}{5} = 8$

Desviaciones: $-4, -2, 0, 2, 4$; sus cuadrados: $16, 4, 0, 4, 16$.

$$ \sigma^2 = \frac{16+4+0+4+16}{5} = \frac{40}{5} = 8 \quad \Rightarrow \quad \sigma = \sqrt{8} \approx 2{,}83 $$
$$ CV = \frac{2{,}83}{8} \cdot 100 \approx 35{,}4\% $$

La desviación típica de unos 2,83 indica que, en promedio, los datos se alejan unos 2,83 unidades de la media 8.

Interpretación

  • A mayor desviación típica, mayor dispersión de los datos alrededor de la media.
  • El $CV$ permite comparar series: tiene menor dispersión relativa la serie con menor $CV$.
  • Si $\sigma = 0$, todos los datos son iguales.

1. Calcula el rango del conjunto {3, 7, 12, 15, 21}: (1 puntos)

2. Calcula la varianza muestral $s^2$ (dividiendo entre $n-1$) del conjunto {2, 4, 6}: (1 puntos)

3. Para el conjunto {10, 12, 14, 16}, calcula: (1 puntos)

a ) La media aritmética:

b ) El rango:

c ) La desviación media:

4. ¿Qué medida de dispersión se expresa en las mismas unidades que los datos originales? (1 puntos)

5. Una serie tiene media 200 y desviación típica 20. ¿Cuánto vale su coeficiente de variación en %? (1 puntos)

6. La serie A tiene media 100 y desviación típica 10; la serie B tiene media 10 y desviación típica 2. ¿Qué afirmación es correcta? (1 puntos)

7. ¿Por qué se divide entre $n-1$ en la varianza muestral en lugar de entre $n$? (1 puntos)