Dominio: para $f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}$, $\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{x:Q(x)=0\}$; para $f(x)=\sqrt{g(x)}$ se exige $g(x)\ge 0$.
Composición: $(f\circ g)(x)=f(g(x))$. Función inversa: si $y=f(x)$, se despeja $x$ en función de $y$ y se intercambian las variables.
Asíntotas: vertical en $x=a$ si $\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty$; horizontal en $y=b$ si $\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=b$; oblicua $y=mx+n$ si $\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}=m$ y $\lim_{x\to\infty}(f(x)-mx)=n$.
Transformaciones: $f(x)+k$ desplaza $k$ unidades hacia arriba, $f(x+k)$ desplaza $k$ unidades a la izquierda, $a\cdot f(x)$ estira o comprime verticalmente y $f(-x)$ refleja respecto del eje $Y$.
1. El dominio de la función $f(x)=\dfrac{1}{x-3}$ es:
(1 punto)
Retroalimentación: El denominador no puede anularse: $x-3\neq 0$, luego $x\neq 3$. Por tanto, $\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{3\}$.
2. Halla el dominio de la función $f(x)=\dfrac{x+1}{x^2-4}$.
(1.5 puntos)
a
)
Apartado a) La menor de las abscisas excluidas del dominio.
b
)
Apartado b) La mayor de las abscisas excluidas del dominio.
Retroalimentación: El denominador se anula cuando $x^2-4=0$, es decir, $x=\pm 2$. Por tanto, el dominio es $\mathbb{R}\setminus\{-2,2\}$: se excluyen $x=-2$ y $x=2$.
3. Dadas $f(x)=x^2+1$ y $g(x)=3x-1$, calcula $f(g(2))$.
(1.5 puntos)
Retroalimentación: Primero calculamos $g(2)=3\cdot 2-1=5$. Después $f(g(2))=f(5)=5^2+1=25+1=26$.
4. Dadas $f(x)=x+2$ y $g(x)=x^2$, calcula $(f\circ g)(3)$.
(1.5 puntos)
6. La función $f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}$ tiene dos asíntotas. Indica sus ecuaciones:
(1.5 puntos)
a
)
Apartado a) Asíntota vertical: $x=$
b
)
Apartado b) Asíntota horizontal: $y=$
Retroalimentación: La asíntota vertical se produce donde se anula el denominador: $x-1=0$, luego $x=1$. Para la horizontal calculamos el límite en el infinito: $\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x+1}{x-1}=2$, luego $y=2$.
7. La gráfica de $g(x)=f(x)+3$ se obtiene desplazando la gráfica de $f$:
(1 punto)
Retroalimentación: Sumar una constante positiva a la función desplaza la gráfica verticalmente hacia arriba: cada punto $(x, f(x))$ pasa a $(x, f(x)+3)$.
8. El dominio de $f(x)=\sqrt{x-5}$ es $x\ge a$. ¿Cuánto vale $a$?
(1 punto)
Retroalimentación: El radicando debe ser mayor o igual que 0: $x-5\ge 0\Rightarrow x\ge 5$. Por tanto, $a=5$ y el dominio es $[5,+\infty)$.