Recta: un punto $P$ y un vector director $\vec{v}$ determinan la recta. Pendiente $m=\dfrac{v_2}{v_1}$. Dos rectas son paralelas si sus pendientes coinciden y perpendiculares si $m_1\cdot m_2=-1$.
Distancia de un punto $P(x_0,y_0)$ a la recta $Ax+By+C=0$: $d(P,r)=\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$.
Punto medio de $A$ y $B$: $M=\left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$.
Cónicas: circunferencia de centro $(a,b)$ y radio $r$: $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$. Elipse, hipérbola y parábola son los lugares geométricos definidos por distancias a focos y directrices.
1. Calcula el producto escalar de los vectores $\vec{u}=(2,3)$ y $\vec{v}=(1,-4)$.
(1 punto)
Retroalimentación: El producto escalar es $\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2=2\cdot 1+3\cdot(-4)=2-12=-10$.
2. Calcula el módulo del vector $\vec{u}=(-3,4)$.
(1.5 puntos)
3. Halla la recta que pasa por los puntos $A(1,2)$ y $B(3,6)$.
(1.5 puntos)
a
)
Apartado a) La pendiente de la recta.
b
)
Apartado b) La ordenada en el origen de la recta.
Retroalimentación: La pendiente es $m=\dfrac{6-2}{3-1}=\dfrac{4}{2}=2$. La recta es $y-2=2(x-1)$, es decir, $y=2x$, por lo que la ordenada en el origen es $b=0$.
4. Calcula la distancia del punto $P(0,0)$ a la recta $r: 3x+4y-7=0$.
(1.5 puntos)
Retroalimentación: Aplicamos la fórmula: $d(P,r)=\dfrac{|3\cdot 0+4\cdot 0-7|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\dfrac{|-7|}{5}=\dfrac{7}{5}=1.4$.
5. Dos rectas con pendientes $m_1=3$ y $m_2=-\dfrac{1}{3}$ son:
(1 punto)
Retroalimentación: El producto de las pendientes es $3\cdot\left(-\dfrac{1}{3}\right)=-1$, luego las rectas son perpendiculares.
6. El punto medio del segmento de extremos $A(-2,4)$ y $B(4,0)$ es $M=(a,b)$. Calcula:
(1.5 puntos)
a
)
Apartado a) La primera coordenada $a$ de $M$.
b
)
Apartado b) La segunda coordenada $b$ de $M$.
Retroalimentación: El punto medio se calcula con las medias de las coordenadas: $M=\left(\dfrac{-2+4}{2},\dfrac{4+0}{2}\right)=(1,2)$, luego $a=1$ y $b=2$.
7. La circunferencia de centro $(3,-1)$ y radio 4 tiene por ecuación:
(1 punto)
Retroalimentación: La ecuación de la circunferencia de centro $(a,b)$ y radio $r$ es $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$. Con centro $(3,-1)$ y radio 4: $(x-3)^2+(y-(-1))^2=4^2$, es decir, $(x-3)^2+(y+1)^2=16$.
8. Una recta pasa por el punto $A(1,-3)$ y tiene vector director $\vec{v}=(2,5)$. ¿Cuál es su pendiente?
(1 punto)
Retroalimentación: La pendiente es $m=\dfrac{v_2}{v_1}=\dfrac{5}{2}=2.5$.