Distancias y ángulos
Distancia entre dos puntos
La distancia entre $A(x_1, y_1)$ y $B(x_2, y_2)$ es el módulo del vector $\vec{AB}$:
$$
d(A, B) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
$$
Distancia de un punto a una recta
Dado el punto $P(x_0, y_0)$ y la recta $r: Ax + By + C = 0$:
$$
d(P, r) = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
$$
Es la menor distancia entre el punto y cualquier punto de la recta (se mide sobre la perpendicular).
Distancia entre rectas paralelas
Si $r: Ax + By + C_1 = 0$ y $s: Ax + By + C_2 = 0$ son paralelas:
$$
d(r, s) = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
$$
Ángulo entre dos rectas
Dadas las pendientes $m_1$ y $m_2$, el ángulo $\theta$ que forman las rectas cumple:
$$
\tan\theta = \left|\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}\right|
$$
Si $1 + m_1 m_2 = 0$, las rectas son perpendiculares y $\theta = 90^\circ$.
Ángulo entre dos vectores
$$
\cos\theta = \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}
$$
resuelto: distancia del punto $P(0,0)$ a la recta $3x + 4y - 7 = 0$
$d(P, r) = \dfrac{|3\cdot 0 + 4\cdot 0 - 7|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \dfrac{|-7|}{5} = \dfrac{7}{5} = 1{,}4$
resuelto: distancia entre $r: 3x + 4y - 7 = 0$ y $s: 3x + 4y + 3 = 0$
$d(r, s) = \dfrac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \dfrac{|-7 - 3|}{5} = \dfrac{10}{5} = 2$
Errores comunes
- Olvidar el valor absoluto en el numerador de la fórmula de la distancia: la distancia nunca es negativa.
- Usar la fórmula de la distancia entre rectas paralelas cuando las rectas son secantes (no tiene sentido: se cortan, distancia cero, pero la fórmula no aplica).
- Calcular el ángulo con $\tan\theta$ sin el valor absoluto: el ángulo entre rectas se toma siempre entre $0^\circ$ y $90^\circ$.