Ecuaciones de la recta
Una recta queda determinada por un punto $P(x_0, y_0)$ por el que pasa y un vector director $\vec{v} = (v_1, v_2)$ que indica su dirección.
Pendiente de la recta
La pendiente $m$ mide la inclinación de la recta y se relaciona con el vector director y con el ángulo $\alpha$ que forma la recta con el eje $X$:
Si la recta pasa por $P(x_0, y_0)$ y $Q(x_1, y_1)$:
Formas de la ecuación de la recta
| Forma | Ecuación |
|---|---|
| Vectorial | $(x, y) = (x_0, y_0) + t(v_1, v_2)$ |
| Paramétricas | $x = x_0 + t v_1,\;\; y = y_0 + t v_2$ |
| Continua | $\dfrac{x - x_0}{v_1} = \dfrac{y - y_0}{v_2}$ |
| Punto-pendiente | $y - y_0 = m(x - x_0)$ |
| Explícita | $y = mx + n$ (con $n$ la ordenada en el origen) |
| General o implícita | $Ax + By + C = 0$ |
De la forma general se obtiene la pendiente: $m = -\dfrac{A}{B}$ (si $B \neq 0$).
De la forma general a la explícita
Basta despejar $y$:
resuelto: pasa la recta $3x + 2y = 6$ a forma explícita
Despejamos: $2y = -3x + 6$, luego $y = -\dfrac{3}{2}x + 3$.
Pendiente: $m = -\dfrac{3}{2}$ y ordenada en el origen: $n = 3$.
Recta que pasa por dos puntos
resuelto: halla la recta que pasa por $A(1,2)$ y $B(3,6)$
Pendiente: $m = \dfrac{6-2}{3-1} = \dfrac{4}{2} = 2$
Punto-pendiente con $A(1,2)$: $y - 2 = 2(x - 1)$
Explícita: $y = 2x$. General: $2x - y = 0$.
Comprobación: para $x=1$, $y=2$; para $x=3$, $y=6$. Correcto.
Errores comunes
- Usar un vector director nulo: $\vec{v} = (0,0)$ no define ninguna dirección.
- En la forma continua, el vector director no puede tener componente nula en el denominador (recta vertical u horizontal).
- Confundir la pendiente con la ordenada en el origen: $m$ indica inclinación y $n$ indica el corte con el eje $Y$.