Lugares geométricos

Un lugar geométrico es el conjunto de todos los puntos del plano que cumplen una determinada condición geométrica. Para hallar su ecuación se impone la condición sobre un punto genérico $P(x, y)$.

Mediatriz de un segmento

La mediatriz del segmento $AB$ es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de $A$ y de $B$: $d(P, A) = d(P, B)$. Es la recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.

Bisectriz de un ángulo

La bisectriz es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los dos lados del ángulo (las distancias a ambas rectas son iguales).

Circunferencia

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos que están a una distancia constante $r$ (radio) de un punto fijo $C(a, b)$ (centro):

$$ (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 $$

Desarrollando se obtiene la forma general $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$. Para recuperar centro y radio se completan cuadrados.

Parábola

La parábola es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

Elipse

La elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos (focos) es constante.

resuelto: mediatriz del segmento de extremos $A(-2,4)$ y $B(4,0)$

Punto medio: $M = \left(\dfrac{-2+4}{2},\dfrac{4+0}{2}\right) = (1, 2)$

Pendiente de $AB$: $m_{AB} = \dfrac{0-4}{4-(-2)} = \dfrac{-4}{6} = -\dfrac{2}{3}$

La mediatriz es perpendicular, luego su pendiente es $m = \dfrac{3}{2}$:

$y - 2 = \dfrac{3}{2}(x - 1) \Rightarrow 2y - 4 = 3x - 3 \Rightarrow 3x - 2y + 1 = 0$

resuelto: centro y radio de $x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0$

Completamos cuadrados: $(x^2 - 6x) + (y^2 + 8y) = 0$

$(x - 3)^2 - 9 + (y + 4)^2 - 16 = 0 \Rightarrow (x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 25$

Centro $C(3, -4)$ y radio $r = 5$.

Errores comunes

  • Confundir mediatriz con mediana: la mediatriz es perpendicular al segmento y pasa por su punto medio, mientras que la mediana une un vértice con el punto medio del lado opuesto.
  • Olvidar completar cuadrados al pasar de la forma general de la circunferencia a la reducida.
  • Escribir la ecuación de la circunferencia con el signo del centro cambiado: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$.

1. La mediatriz de un segmento $AB$ es el lugar geométrico de los puntos que: (1 puntos)

2. La circunferencia de centro $(3,-1)$ y radio 4 tiene por ecuación: (1 puntos)

3. Calcula el radio de la circunferencia $x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0$. (1 puntos)

4. La circunferencia $x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0$ tiene centro $C(a, b)$ y radio $r$. Calcula: (1 puntos)

a ) La coordenada $a$ del centro:

b ) La coordenada $b$ del centro:

c ) El radio $r$:

5. El lugar geométrico de los puntos del plano que están a distancia fija $r$ de un punto fijo $C$ es: (1 puntos)

6. La parábola es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de: (1 puntos)