Posición relativa de rectas
Dos rectas en el plano solo pueden ocupar tres posiciones relativas: secantes (se cortan en un punto), paralelas (no se cortan) o coincidentes (son la misma recta).
Estudio con las ecuaciones explícitas
Dadas $r: y = m_1 x + n_1$ y $s: y = m_2 x + n_2$:
| Condición | Posición |
|---|---|
| $m_1 \neq m_2$ | Secantes |
| $m_1 = m_2$ y $n_1 \neq n_2$ | Paralelas |
| $m_1 = m_2$ y $n_1 = n_2$ | Coincidentes |
Estudio con las ecuaciones generales
Dadas $r: A_1 x + B_1 y + C_1 = 0$ y $s: A_2 x + B_2 y + C_2 = 0$:
- Si $\dfrac{A_1}{A_2} \neq \dfrac{B_1}{B_2}$: secantes.
- Si $\dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{B_1}{B_2} \neq \dfrac{C_1}{C_2}$: paralelas.
- Si $\dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{B_1}{B_2} = \dfrac{C_1}{C_2}$: coincidentes.
Punto de corte
Si las rectas son secantes, el punto de corte se obtiene resolviendo el sistema formado por sus ecuaciones. El sistema tiene solución única (secantes), ninguna (paralelas) o infinitas (coincidentes).
Rectas perpendiculares
Dos rectas de pendientes $m_1$ y $m_2$ son perpendiculares si:
es decir, $m_2 = -\dfrac{1}{m_1}$. En forma general, son perpendiculares si $A_1 A_2 + B_1 B_2 = 0$.
resuelto: punto de corte de $y = 2x + 1$ e $y = -x + 4$
Igualamos: $2x + 1 = -x + 4 \Rightarrow 3x = 3 \Rightarrow x = 1$.
Sustituimos: $y = 2\cdot 1 + 1 = 3$.
El punto de corte es $(1, 3)$. Comprobamos en la segunda: $-1 + 4 = 3$. Correcto.
Errores comunes
- Pensar que dos rectas con la misma pendiente siempre son coincidentes: también deben tener la misma ordenada en el origen.
- Confundir rectas perpendiculares con rectas que simplemente se cortan: toda perpendicular es secante, pero no toda secante es perpendicular.
- Olvidar que la condición de paralelismo en forma general es la proporcionalidad de $A$ y $B$ (no de $C$).