Vectores en el plano

Un vector es un segmento orientado. Se caracteriza por su módulo (longitud), su dirección (la recta que lo contiene) y su sentido (hacia dónde apunta).

Componentes de un vector

Dados el origen $A(a_1, a_2)$ y el extremo $B(b_1, b_2)$, las componentes del vector $\vec{AB}$ son:

$$ \vec{AB} = (b_1 - a_1,\, b_2 - a_2) $$

El vector $\vec{BA}$ tiene las mismas componentes cambiadas de signo: $\vec{BA} = -\vec{AB}$.

Módulo de un vector

El módulo es la longitud del vector y se calcula con el teorema de Pitágoras:

$$ |\vec{v}| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2} $$

Si el vector va de $A$ a $B$, entonces $|\vec{AB}|$ es exactamente la distancia entre $A$ y $B$.

Operaciones con vectores

Operación	Resultado
Suma	$\vec{u} + \vec{v} = (u_1+v_1,\, u_2+v_2)$
Producto por escalar	$k\cdot\vec{v} = (k v_1,\, k v_2)$
Producto escalar	$\vec{u}\cdot\vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 =	\vec{u}	\,	\vec{v}	\cos\alpha$

El producto escalar devuelve un número (no un vector) y sirve para:

Calcular el ángulo entre dos vectores: $\cos\alpha = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|}$
Comprobar la perpendicularidad: $\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u}\cdot\vec{v} = 0$

Vector unitario

Un vector unitario tiene módulo 1. Se obtiene dividiendo el vector entre su módulo:

$$ \hat{u} = \frac{\vec{u}}{|\vec{u}|} $$

resuelto: vector de $A(1,2)$ a $B(4,6)$

Componentes: $\vec{AB} = (4-1,\, 6-2) = (3, 4)$

Módulo: $|\vec{AB}| = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{25} = 5$

Vector unitario: $\hat{u} = \left(\dfrac{3}{5},\, \dfrac{4}{5}\right)$

Producto escalar con $\vec{v} = (2,-1)$: $\vec{AB}\cdot\vec{v} = 3\cdot 2 + 4\cdot(-1) = 6 - 4 = 2$

Errores comunes

Confundir $\vec{AB}$ con $\vec{BA}$: son vectores opuestos (mismo módulo y dirección, sentido contrario).
Creer que el módulo puede ser negativo: siempre es un número mayor o igual que cero.
Calcular el producto escalar como $u_1 + v_1$: lo correcto es $u_1 v_1 + u_2 v_2$.