Límites y continuidad — 1º Bachillerato Académicas
Límite de una función: $\lim_{x\to a}f(x)=L$ si $f(x)$ se aproxima a $L$ cuando $x$ se acerca a $a$. Para calcularlo se sustituye; si aparece una indeterminación $0/0$ se factoriza y simplifica, y si es $\infty/\infty$ se divide por la mayor potencia del denominador.
Límites en el infinito: si $\lim_{x\to\infty}f(x)=b$ finito, la recta $y=b$ es asíntota horizontal; si el límite es $\pm\infty$ hay que comparar los grados del numerador y del denominador.
Continuidad: $f$ es continua en $x=a$ si existe $f(a)$, existe $\lim_{x\to a}f(x)$ y ambos coinciden: $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.
1. La función $f$ es continua en $x=a$ cuando:
(1 punto)
Retroalimentación: La continuidad exige tres condiciones: que exista $f(a)$, que exista $\lim_{x\to a}f(x)$ y que ambos coincidan. La condición que resume todo es $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.
Retroalimentación: Hay una indeterminación $0/0$. Factorizamos: $\dfrac{x^2-9}{x-3}=\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$, y entonces $\lim_{x\to 3}(x+3)=6$.
4. Calcula los siguientes límites:
(1.5 puntos)
a
)
Apartado a) $\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x+2}{2x-1}$
b
)
Apartado b) $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}$
Retroalimentación: En el primer límite, numerador y denominador tienen el mismo grado, así que el límite es el cociente de los coeficientes principales: $\dfrac{3}{2}=1.5$. El segundo es el límite notable $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$.
5. El límite $\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^2+1}{x}$ es:
(1 punto)
Retroalimentación: El grado del numerador (2) es mayor que el del denominador (1), luego el límite es $+\infty$: $\dfrac{x^2+1}{x}=x+\dfrac{1}{x}$, que tiende a $+\infty$.
6. Halla el valor de $k$ para que la función $f(x)=\begin{cases}x+2&x<1\\ k&x\ge 1\end{cases}$ sea continua en $x=1$.
(1.5 puntos)
a
)
Apartado a) Valor del límite lateral por la izquierda en $x=1$.
b
)
Apartado b) Valor que debe tomar $k$.
Retroalimentación: El límite lateral por la izquierda es $\lim_{x\to 1^-}(x+2)=3$. Para que haya continuidad, el valor de la función en $x=1$ debe coincidir con ese límite: $f(1)=k=3$.