Concepto de límite
El límite de una función $f$ en un punto $a$ es el valor $L$ al que se aproximan las imágenes $f(x)$ cuando $x$ se aproxima a $a$ (sin necesidad de que $x$ llegue a valer $a$):
Intuitivamente: si al tomar valores de $x$ cada vez más cercanos a $a$ (por ambos lados) las imágenes $f(x)$ se acercan cada vez más a $L$, entonces el límite es $L$.
Límites laterales
- Límite por la izquierda: $\lim_{x \to a^-} f(x)$: valores de $x < a$ que se acercan a $a$.
- Límite por la derecha: $\lim_{x \to a^+} f(x)$: valores de $x > a$ que se acercan a $a$.
El límite existe si y solo si existen ambos límites laterales y son iguales:
Límites en el infinito
El límite en el infinito describe el comportamiento de la función cuando $x$ crece o decrece indefinidamente:
significa que $f(x)$ se aproxima a $L$ cuando $x$ toma valores cada vez mayores.
Álgebra de límites
Si $\lim_{x \to a} f(x) = L$ y $\lim_{x \to a} g(x) = M$, entonces:
| Operación | Resultado |
|---|---|
| Suma | $\lim (f + g) = L + M$ |
| Producto | $\lim (f \cdot g) = L \cdot M$ |
| Cociente | $\lim \dfrac{f}{g} = \dfrac{L}{M}$ (si $M \neq 0$) |
| Potencia | $\lim f(x)^n = L^n$ |
resuelto: límite lateral de $f(x) = \dfrac{1}{x}$ en $x = 0$
Por la izquierda: $x = -0{,}1,\ -0{,}01,\ -0{,}001 \Rightarrow f(x) = -10,\ -100,\ -1000 \Rightarrow \lim_{x \to 0^-} \dfrac{1}{x} = -\infty$
Por la derecha: $x = 0{,}1,\ 0{,}01,\ 0{,}001 \Rightarrow f(x) = 10,\ 100,\ 1000 \Rightarrow \lim_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x} = +\infty$
Como los límites laterales son distintos, no existe $\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x}$.
Errores comunes
- Confundir $f(a)$ (valor de la función en $a$) con $\lim_{x \to a} f(x)$ (comportamiento alrededor de $a$): pueden ser distintos si la función no es continua.
- Afirmar que el límite no existe cuando la función no está definida en $a$: el límite estudia los alrededores de $a$, no el valor en $a$.
- Olvidar comprobar ambos límites laterales.