Números reales y complejos — 1º Bachillerato Académicas
Números reales: racionales (fracciones y decimales exactos o periódicos) e irracionales (decimales no periódicos). Los intervalos se escriben con corchetes (extremo incluido) o paréntesis (excluido), y en forma de desigualdad.
Valor absoluto: $|x|=\begin{cases}x&x\ge 0\\ -x&x<0\end{cases}$; la ecuación $|x-a|=d$ tiene soluciones $x=a+d$ y $x=a-d$; la inecuación $|x-a|
Errores: error absoluto $E_a=|x-\bar{x}|$; error relativo $E_r=\dfrac{E_a}{|x|}$. Si se mide $x$ con error máximo $e$, el valor real está en $[x-e, x+e]$.
Números complejos: $i^2=-1$; forma binómica $z=a+bi$. Conjugado de $a+bi$: $a-bi$. Módulo: $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$. Operaciones: se suman y multiplican como binomios usando $i^2=-1$.
1. ¿Cuál de los siguientes números es irracional?
(1 punto)
Retroalimentación: $\sqrt{2}\approx 1.4142\dots$ tiene infinitas cifras decimales no periódicas, luego es irracional. Las demás opciones son racionales: $3/4=0.75$, $0.5$ es decimal exacto y $\sqrt{9}=3$.
2. ¿Cuántos números enteros pertenecen al intervalo $(-3,4]$?
(1.5 puntos)
Retroalimentación: El $-3$ queda excluido (paréntesis) y el 4 incluido. Los enteros del intervalo son $-2,-1,0,1,2,3,4$: en total 7 números.
3. Resuelve la ecuación con valor absoluto $|x-3|=5$.
(1.5 puntos)
a
)
Apartado a) La solución menor.
b
)
Apartado b) La solución mayor.
Retroalimentación: La ecuación $|x-3|=5$ significa que $x$ está a distancia 5 de 3: $x-3=5\Rightarrow x=8$, o bien $x-3=-5\Rightarrow x=-2$. Soluciones: $x=-2$ y $x=8$.
4. Al medir una longitud se obtiene 12,4 cm con un error absoluto máximo de 0,05 cm. La medida real está en el intervalo $[a,b]$. Calcula:
(1.5 puntos)
a
)
Apartado a) El extremo inferior $a$ del intervalo.
b
)
Apartado b) El extremo superior $b$ del intervalo.
Retroalimentación: El error absoluto máximo indica que la medida real dista de 12,4 cm menos de 0,05 cm: el intervalo es $[12,4-0,05,\,12,4+0,05]=[12,35;\,12,45]$.
5. Dados los complejos $z_1=2+3i$ y $z_2=5-4i$, calcula la parte real de $z_1+z_2$.
(1 punto)
Retroalimentación: Sumamos partes reales e imaginarias por separado: $z_1+z_2=(2+5)+(3-4)i=7-i$. La parte real es 7.
6. Dados los complejos $z_1=2+i$ y $z_2=3-2i$, calcula el producto $z_1\cdot z_2$.
(1.5 puntos)
a
)
Apartado a) La parte real del producto.
b
)
Apartado b) La parte imaginaria del producto.
Retroalimentación: $(2+i)(3-2i)=6-4i+3i-2i^2=6-i+2=8-i$, donde hemos usado $i^2=-1$. La parte real es 8 y la parte imaginaria es $-1$.
7. El conjugado del número complejo $z=3-4i$ es:
(1 punto)
Retroalimentación: El conjugado de $a+bi$ se obtiene cambiando el signo de la parte imaginaria: $\overline{3-4i}=3+4i$.
8. Calcula el módulo del número complejo $z=3+4i$.
(1 punto)