Módulo y argumento de un número complejo
Dado el número complejo en forma binómica $z = a + bi$, se definen:
| Elemento | Símbolo | Definición | ||
|---|---|---|---|---|
| Módulo | $r = | z | $ | $r = \sqrt{a^2 + b^2}$ |
| Argumento | $\alpha = \arg(z)$ | $\tan \alpha = \dfrac{b}{a}$, según el cuadrante |
El módulo es la distancia del punto $(a, b)$ al origen de coordenadas. El argumento es el ángulo que forma el vector con el semieje real positivo. El argumento principal se toma en $(-\pi, \pi]$ (o en $[0, 360^{\circ})$ si se trabaja en grados).
Forma polar y forma trigonométrica
Si $z \neq 0$ tiene módulo $r$ y argumento $\alpha$:
- Forma polar: $z = r_{\alpha}$
- Forma trigonométrica: $z = r(\cos \alpha + i\,\mathrm{sen}\,\alpha)$
- Paso a forma binómica: $a = r\cos \alpha$ y $b = r\,\mathrm{sen}\,\alpha$
$z = 1 + \sqrt{3}\,i$ en forma polar y trigonométrica
$r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$
$\tan \alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$ y, como $z$ está en el primer cuadrante, $\alpha = 60^{\circ} = \dfrac{\pi}{3}$ rad.
Por tanto: $z = 2_{60^{\circ}}$ y $z = 2\left(\cos \dfrac{\pi}{3} + i\,\mathrm{sen}\,\dfrac{\pi}{3}\right)$.
pasar $z = 4(\cos 120^{\circ} + i\,\mathrm{sen}\,120^{\circ})$ a forma binómica
$\cos 120^{\circ} = -\dfrac{1}{2}$ y $\mathrm{sen}\,120^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, luego
$z = 4\left(-\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = -2 + 2\sqrt{3}\,i$.
Operaciones en forma polar
| Operación | Regla |
|---|---|
| Producto | $r_{\alpha} \cdot s_{\beta} = (r \cdot s)_{\alpha + \beta}$ |
| Cociente | $\dfrac{r_{\alpha}}{s_{\beta}} = \left(\dfrac{r}{s}\right)_{\alpha - \beta}$ |
| Potencia (fórmula de De Moivre) | $(r_{\alpha})^n = r^n_{\,n\alpha}$ |
Fórmula de De Moivre: $(\cos \alpha + i\,\mathrm{sen}\,\alpha)^n = \cos(n\alpha) + i\,\mathrm{sen}\,(n\alpha)$.
calcular $(2_{30^{\circ}}) \cdot (3_{50^{\circ}})$ y $(\sqrt{2}_{45^{\circ}})^8$
Producto: módulo $2 \cdot 3 = 6$ y argumento $30^{\circ} + 50^{\circ} = 80^{\circ}$, es decir $6_{80^{\circ}}$.
Potencia: módulo $(\sqrt{2})^8 = 16$ y argumento $8 \cdot 45^{\circ} = 360^{\circ} \equiv 0^{\circ}$, luego $(\sqrt{2}_{45^{\circ}})^8 = 16$, un número real positivo.
Errores comunes
- Olvidar ajustar el argumento según el cuadrante: $\tan \alpha$ toma el mismo valor para ángulos que difieren en $180^{\circ}$.
- Mezclar grados y radianes en la misma operación.
- Confundir el módulo con el valor absoluto: para $z = a + bi$ el módulo es $\sqrt{a^2 + b^2}$, no $\sqrt{a^2}$.