Intervalos de números reales
Un intervalo es un subconjunto de $\mathbb{R}$ formado por todos los números comprendidos entre dos extremos, que pueden estar incluidos o no. Sobre la recta real se dibuja con un trazo grueso: punto relleno si el extremo está incluido y punto vacío si está excluido.
Clasificación
| Intervalo | Notación | Conjunto | Observación |
|---|---|---|---|
| Abierto | $(a, b)$ | $\{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}$ | Extremos excluidos |
| Cerrado | $[a, b]$ | $\{x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b\}$ | Extremos incluidos |
| Semiabierto | $[a, b)$ | $\{x \in \mathbb{R} : a \leq x < b\}$ | Abierto por la derecha |
| Semiabierto | $(a, b]$ | $\{x \in \mathbb{R} : a < x \leq b\}$ | Abierto por la izquierda |
| Semirrecta | $(a, +\infty)$ | $\{x \in \mathbb{R} : x > a\}$ | Extremo infinito siempre abierto |
| Semirrecta | $(-\infty, b]$ | $\{x \in \mathbb{R} : x \leq b\}$ | Extremo infinito siempre abierto |
Los símbolos $-\infty$ y $+\infty$ no son números reales, por lo que el extremo infinito siempre se escribe abierto (nunca $[a, +\infty]$).
Entornos
El entorno de centro $a$ y radio $r$ es el intervalo abierto formado por los puntos cuya distancia a $a$ es menor que $r$:
El entorno reducido $E^*(a, r) = (a - r, a + r) \setminus \{a\}$ excluye el propio centro.
$E(3, 2)$
$E(3, 2) = (3 - 2, 3 + 2) = (1, 5)$, es decir, los números cuya distancia a 3 es menor que 2.
Unión e intersección
- La intersección $A \cap B$ contiene los números que pertenecen a los dos intervalos.
- La unión $A \cup B$ contiene los números que pertenecen a al menos uno de ellos.
$A = [1, 6]$ y $B = (3, 8)$
$A \cap B = (3, 6]$ y $A \cup B = [1, 8)$.
resolver la inecuación $x^2 - 9 \leq 0$
$x^2 \leq 9 \Rightarrow -3 \leq x \leq 3$, es decir $x \in [-3, 3]$.
Errores comunes
- Escribir $[a, +\infty]$ con corchete en el infinito: el extremo infinito siempre es abierto.
- Confundir el intervalo $(a, b)$ con las coordenadas de un punto del plano.
- Olvidar que la intersección de dos intervalos puede ser el conjunto vacío.