Probabilidad de la unión: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$. Probabilidad del contrario: $P(\bar{A})=1-P(A)$.
Teorema de Bayes: si $A_1,\dots,A_n$ forman una partición del espacio muestral, $P(A_i/B)=\dfrac{P(A_i)\cdot P(B/A_i)}{\sum_k P(A_k)\cdot P(B/A_k)}$. Permite actualizar la probabilidad de una causa cuando se conoce el efecto.
Combinatoria: variaciones $V_{m,n}=\dfrac{m!}{(m-n)!}$ (importa el orden), permutaciones $P_m=m!$, combinaciones $C_{m,n}=\binom{m}{n}=\dfrac{m!}{n!(m-n)!}$ (no importa el orden).
1. Al lanzar un dado perfecto, la probabilidad de obtener un número par es:
(1 punto)
Retroalimentación: De los 6 resultados posibles, 3 son pares (2, 4 y 6). Por Laplace, $P(\text{par})=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$.
2. En una bolsa hay 3 bolas rojas y 5 azules. Si se extrae una bola al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea roja?
(1.5 puntos)
Retroalimentación: Hay 8 bolas en total y 3 favorables: $P=\dfrac{3}{8}=0.375$.
3. ¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar 5 libros en una estantería?
(1.5 puntos)
Retroalimentación: Se trata de ordenar 5 elementos distintos: $P_5=5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120$.
4. En una urna hay 4 bolas blancas y 6 negras. Se extraen dos bolas sin reemplazamiento. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean negras?
(1.5 puntos)
Retroalimentación: $P(\text{ambas negras})=\dfrac{6}{10}\cdot\dfrac{5}{9}=\dfrac{30}{90}=\dfrac{1}{3}\approx 0.3333$. Al extraer sin reemplazamiento, el espacio muestral cambia tras la primera extracción.
5. Si $P(A)=0.6$ y $P(B)=0.3$ con $A$ y $B$ independientes, entonces $P(A\cap B)$ vale:
(1 punto)
Retroalimentación: Para sucesos independientes, $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=0.6\cdot 0.3=0.18$.
6. En una urna hay 3 bolas rojas y 5 verdes. Se extrae una bola, se mira y no se devuelve; después se extrae otra. Calcula:
(1.5 puntos)
a
)
Apartado a) Probabilidad de que la segunda sea roja sabiendo que la primera fue roja.
b
)
Apartado b) Probabilidad de que la segunda sea verde sabiendo que la primera fue roja.
Retroalimentación: Tras extraer una bola roja quedan 2 rojas y 5 verdes, es decir, 7 bolas. Entonces $P(\text{2ª roja / 1ª roja})=\dfrac{2}{7}\approx 0.2857$ y $P(\text{2ª verde / 1ª roja})=\dfrac{5}{7}\approx 0.7143$.
7. El teorema de Bayes permite calcular:
(1 punto)
Retroalimentación: El teorema de Bayes actualiza la probabilidad de cada causa $A_i$ cuando se ha observado el efecto $B$: $P(A_i/B)=\dfrac{P(A_i)P(B/A_i)}{\sum_k P(A_k)P(B/A_k)}$.
8. Se lanzan dos monedas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una cara?
(1 punto)
Retroalimentación: Por el suceso contrario: $P(\text{al menos una cara})=1-P(\text{ninguna cara})=1-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}=0.75$.