Probabilidad condicionada
Cuando disponemos de información adicional, la probabilidad de un suceso cambia. La probabilidad condicionada $P(A \mid B)$ mide la probabilidad de que ocurra $A$ sabiendo que ha ocurrido $B$.
Definición
- $P(A \cap B)$ es la probabilidad de que ocurran ambos sucesos.
- Se lee «probabilidad de $A$ dado $B$»: primero ocurre $B$ y, con esa información, valoramos $A$.
extraer una carta
De una baraja española de 40 cartas (10 de cada palo) se extrae una carta. Sabiendo que es de copas, ¿cuál es la probabilidad de que sea un as?
Entre las 10 cartas de copas hay un único as, luego $P(\text{As} \mid \text{Copas}) = \frac{1}{10} = 0{,}1$.
Con la fórmula: $P(\text{As} \cap \text{Copas}) = \frac{1}{40}$ y $P(\text{Copas}) = \frac{10}{40} = \frac{1}{4}$, de donde
Propiedades fundamentales
| Propiedad | Fórmula |
|---|---|
| Complementario | $P(\overline{A} \mid B) = 1 - P(A \mid B)$ |
| Regla de la intersección | $P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A \mid B)$ |
| Sucesos independientes | $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ y $P(A \mid B) = P(A)$ |
Dos sucesos son independientes cuando el hecho de que ocurra uno no altera la probabilidad del otro.
Probabilidad total
Si $B_1, B_2, \ldots, B_n$ son sucesos incompatibles cuya unión es todo el espacio muestral:
dos extracciones sin reemplazamiento
Una urna contiene 3 bolas rojas y 5 azules. Se extraen dos bolas sin devolver la primera.
- $P(R_2 \mid R_1) = \frac{2}{7}$, porque tras sacar una roja quedan 2 rojas entre 7 bolas.
- $P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \cdot P(R_2 \mid R_1) = \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7} = \frac{6}{56} = \frac{3}{28}$
- $P(R_2) = \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7} + \frac{5}{8} \cdot \frac{3}{7} = \frac{6}{56} + \frac{15}{56} = \frac{21}{56} = \frac{3}{8}$, aplicando la probabilidad total (primera roja o primera azul).
Errores comunes
- Confundir $P(A \mid B)$ con $P(B \mid A)$: en general no son iguales.
- Olvidar que la fórmula exige $P(B) > 0$.
- Suponer independencia sin comprobarla: solo es cierta si $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.