Teorema de Bayes

El teorema de Bayes permite «invertir» una probabilidad condicionada: conocer $P(A \mid B)$ cuando lo que manejamos es $P(B \mid A)$ junto con las probabilidades previas de los sucesos.

Teorema de la probabilidad total

Si los sucesos $B_1, B_2, \ldots, B_n$ forman una partición del espacio muestral (incompatibles dos a dos y cuya unión es todo el espacio), entonces para cualquier suceso $A$:

$$ P(A) = P(B_1) \cdot P(A \mid B_1) + P(B_2) \cdot P(A \mid B_2) + \cdots + P(B_n) \cdot P(A \mid B_n) $$

Fórmula de Bayes

$$ P(B_i \mid A) = \frac{P(B_i) \cdot P(A \mid B_i)}{P(A)} $$

El denominador $P(A)$ se calcula con el teorema de la probabilidad total. Las probabilidades $P(B_i)$ se llaman a priori y las $P(B_i \mid A)$, a posteriori: se actualizan cuando observamos que ha ocurrido $A$.

piezas defectuosas

Dos máquinas fabrican piezas: la máquina 1 produce el 60% de las piezas, con un 5% de defectuosas, y la máquina 2 el 40%, con un 10% de defectuosas. Elegimos una pieza al azar y resulta defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que la haya fabricado la máquina 1?

Primero, la probabilidad total de pieza defectuosa:

$$ P(D) = 0{,}6 \cdot 0{,}05 + 0{,}4 \cdot 0{,}10 = 0{,}03 + 0{,}04 = 0{,}07 $$

Aplicamos Bayes:

$$ P(M_1 \mid D) = \frac{0{,}6 \cdot 0{,}05}{0{,}07} = \frac{0{,}03}{0{,}07} = \frac{3}{7} \approx 0{,}4286 $$
prueba diagnóstica

Una enfermedad afecta al 1% de la población. Un test da positivo en el 95% de los enfermos y en el 5% de los sanos (falso positivo). Si una persona da positivo, ¿cuál es la probabilidad de que esté realmente enferma?

$$ P(E \mid +) = \frac{0{,}01 \cdot 0{,}95}{0{,}01 \cdot 0{,}95 + 0{,}99 \cdot 0{,}05} = \frac{0{,}0095}{0{,}059} \approx 0{,}1610 $$

Solo un 16,1%: el resultado parece sorprendente, pero se debe a que la enfermedad es poco frecuente y la mayoría de los positivos son falsos positivos.

Errores comunes

  • Confundir $P(A \mid B)$ con $P(B \mid A)$: son probabilidades distintas en general.
  • Olvidar sumar todas las ramas en el denominador (probabilidad total).
  • No distinguir la probabilidad previa $P(B_i)$ de la posterior $P(B_i \mid A)$.

1. El teorema de Bayes establece que $P(B_i \mid A)$ es igual a: (1 puntos)

2. Con los datos del ejemplo de las máquinas ($P(M_1) = 0{,}6$, $P(D \mid M_1) = 0{,}05$, $P(M_2) = 0{,}4$, $P(D \mid M_2) = 0{,}10$), calcula la probabilidad total de pieza defectuosa. (1 puntos)

3. En el mismo ejemplo, si la pieza elegida es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que la haya fabricado la máquina 1? (responde con 4 decimales) (1 puntos)

4. En la fórmula de Bayes, el denominador $P(A)$ se calcula mediante: (1 puntos)

5. Una enfermedad afecta al 1% de la población. El test da positivo en el 95% de los enfermos y en el 5% de los sanos. Si una persona da positivo, ¿cuál es la probabilidad de que esté enferma? (responde con 4 decimales) (1 puntos)

6. Si $P(A \mid B) = 0{,}8$ y $P(B \mid A) = 0{,}2$, ¿podemos afirmar que ambas probabilidades son iguales? (1 puntos)