Definición de sucesión
Una sucesión numérica es una aplicación que asocia a cada número natural $n$ un número real $a_n$. Se escribe:
$$
(a_n) = a_1, a_2, a_3, a_4, \ldots
$$
- $a_n$ es el término general o término n-ésimo.
- $a_1$ es el primer término.
- El dominio es el conjunto de los números naturales, normalmente a partir de 1.
Formas de definir una sucesión
1. Por su término general (fórmula explícita): $a_n = 2n - 1$ da lugar a 1, 3, 5, 7, ... 2. Por recurrencia: cada término se obtiene a partir de los anteriores. Por ejemplo, $a_1 = 1$ y $a_{n+1} = a_n + 2$. 3. Por palabras: los números primos, los cuadrados perfectos...
| Sucesión | Término general | Primeros términos |
|---|---|---|
| Cuadrados | $a_n = n^2$ | 1, 4, 9, 16, ... |
| Números pares | $a_n = 2n$ | 2, 4, 6, 8, ... |
| Números impares | $a_n = 2n - 1$ | 1, 3, 5, 7, ... |
| Inversos | $a_n = \frac{1}{n}$ | 1, $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, ... |
La sucesión de Fibonacci
Se define por recurrencia:
$$
F_1 = 1, \quad F_2 = 1, \quad F_n = F_{n-1} + F_{n-2}
$$
Sus primeros términos son 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... y aparece en la naturaleza (espirales de las piñas, cría de conejos, etc.).
Monotonía y acotación
- Creciente si $a_n \leq a_{n+1}$ para todo $n$; decreciente si $a_n \geq a_{n+1}$.
- Acotada superiormente si existe un número $M$ con $a_n \leq M$ para todo $n$.
- Acotada inferiormente si existe un número $m$ con $a_n \geq m$ para todo $n$.
resuelto: $a_n = \frac{2n + 1}{n}$
- $a_1 = 3$, $a_2 = \frac{5}{2} = 2{,}5$, $a_3 = \frac{7}{3} \approx 2{,}33$.
- Como $a_n = 2 + \frac{1}{n}$, los términos disminuyen: es decreciente.
- Está acotada: $2 < a_n \leq 3$ para todo $n$.
Errores comunes
- Confundir el término general con la lista de términos: $a_n = 2n$ empieza en $a_1 = 2$, no en $a_0$.
- En las recurrencias, olvidar indicar el primer término: sin $a_1$ la sucesión no queda determinada.