Límite de una sucesión

Decimos que la sucesión $(a_n)$ tiene límite $L$ cuando sus términos se aproximan a $L$ tanto como queramos al crecer $n$. Se escribe:

$$ \lim_{n \to \infty} a_n = L $$

Definición formal

Para todo $\varepsilon > 0$ existe un número natural $N$ tal que $|a_n - L| < \varepsilon$ para todo $n > N$. Es decir, a partir de un cierto término, todos quedan dentro de una «ventana» de radio $\varepsilon$ alrededor de $L$.

Tipos de sucesiones

  • Convergente: tiene límite finito. Ejemplo: $a_n = \frac{1}{n} \to 0$.
  • Divergente: $a_n \to +\infty$ o $a_n \to -\infty$. Ejemplo: $a_n = n^2 \to +\infty$.
  • Oscilante: no tiene límite. Ejemplo: $a_n = (-1)^n$ alterna entre 1 y -1.

Álgebra de límites

Si $a_n \to L$ y $b_n \to M$, entonces:

  • $\lim (a_n \pm b_n) = L \pm M$
  • $\lim (a_n \cdot b_n) = L \cdot M$
  • $\lim \frac{a_n}{b_n} = \frac{L}{M}$, si $M \neq 0$

Indeterminación infinito partido infinito

En el cociente de polinomios se divide numerador y denominador por la mayor potencia de $n$ que aparezca.

$a_n = \frac{2n + 1}{3n - 1}$

Dividimos entre $n$:

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{2n + 1}{3n - 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{n}}{3 - \frac{1}{n}} = \frac{2 + 0}{3 - 0} = \frac{2}{3} $$
$a_n = \frac{3n^2 + n + 1}{n^2 - 2n}$

Dividimos entre $n^2$:

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + n + 1}{n^2 - 2n} = \lim_{n \to \infty} \frac{3 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}{1 - \frac{2}{n}} = \frac{3 + 0 + 0}{1 - 0} = 3 $$
$a_n = \frac{5n - 2}{n + 3}$

Dividiendo entre $n$:

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{5 - \frac{2}{n}}{1 + \frac{3}{n}} = \frac{5 - 0}{1 + 0} = 5 $$

Teorema de convergencia

Toda sucesión monótona y acotada es convergente. Gracias a este teorema sabemos, por ejemplo, que $a_n = \frac{1}{n}$ converge sin necesidad de calcular el límite.

Errores comunes

  • Concluir que $\frac{\infty}{\infty} = 1$: hay que comparar los grados del numerador y del denominador.
  • Aplicar el álgebra de límites cuando alguno de ellos no existe (p. ej. con $(-1)^n$).
  • Confundir una sucesión oscilante (sin límite) con una divergente.

1. Calcula el límite: $\lim_{n \to \infty} \frac{2n + 1}{3n - 1}$ (responde con 4 decimales) (1 puntos)

2. Calcula el límite: $\lim_{n \to \infty} \frac{3n^2 + n + 1}{n^2 - 2n}$ (1 puntos)

3. La sucesión $a_n = (-1)^n$ (1, -1, 1, -1, ...) es: (1 puntos)

4. ¿Cuál es la definición formal correcta de $\lim_{n \to \infty} a_n = L$? (1 puntos)

5. Calcula el límite: $\lim_{n \to \infty} \frac{5n - 2}{n + 3}$ (1 puntos)

6. Según el teorema de convergencia, una sucesión es convergente si es: (1 puntos)