El número e
El número e es uno de los números más importantes de las matemáticas. Se define como el límite de la sucesión $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$:
$$
e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2{,}718281828\ldots
$$
Es un número irracional (y trascendente): su expresión decimal no es periódica y no puede escribirse como cociente de enteros.
Aproximaciones
| $n$ | $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ |
|---|---|
| 10 | 2,5937 |
| 100 | 2,7048 |
| 1000 | 2,7169 |
| 10000 | 2,7181 |
Cuanto mayor es $n$, más cerca estamos de $e$.
Generalización
$$
\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{k}{n}\right)^n = e^k
$$
límite con $k = 3$
$$
\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{3}{n}\right)^n = e^3 \approx 20{,}0855
$$
Aplicación: interés compuesto continuo
Un capital $C$ colocado a un interés anual $r$ (en tanto por uno) y capitalizado de forma continua durante $t$ años produce:
$$
C_t = C \cdot e^{r \cdot t}
$$
ahorro
Si invertimos 1000 € al 5% anual con capitalización continua, tras un año tendremos:
$$
C_1 = 1000 \cdot e^{0{,}05} \approx 1000 \cdot 1{,}05127 = 1051{,}27 \text{ €}
$$
El logaritmo neperiano
La base $e$ da lugar al logaritmo neperiano $\ln x = \log_e x$, que es la función inversa de la exponencial natural $y = e^x$:
$$
e^{\ln x} = x \quad \text{y} \quad \ln(e^x) = x
$$
Errores comunes
- Escribir $e = \lim (1 + n)^{1/n}$: el límite correcto es $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$.
- Confundir $e^k$ con $1 + k$: el límite de $\left(1 + \frac{k}{n}\right)^n$ es $e^k$, no $1 + k$.