Ecuaciones trigonométricas: se resuelven despejando la razón y buscando todos los ángulos del intervalo pedido que la cumplen (recuerda los ángulos suplementarios y los que difieren en $360^\circ$).
Triángulos: teorema del seno $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$ y teorema del coseno $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$.
1. En un triángulo rectángulo, el seno de un ángulo agudo $\alpha$ se define como:
(1 punto)
Retroalimentación: Por definición, $\sin\alpha=\dfrac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}$. El cociente cateto contiguo entre hipotenusa es el coseno y el de cateto opuesto entre contiguo es la tangente.
2. Sabiendo que $\sin\alpha=\dfrac{3}{5}$ con $\alpha$ en el primer cuadrante, calcula $\cos\alpha$.
(1.5 puntos)
Retroalimentación: Usamos la identidad fundamental: $\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}$, luego $\cos\alpha=\dfrac{4}{5}=0.8$ (positivo por estar en el primer cuadrante).
3. En un triángulo rectángulo, el cateto opuesto a un ángulo agudo $\alpha$ mide 6 cm y la hipotenusa 10 cm. Calcula:
(1.5 puntos)
a
)
Apartado a) $\sin\alpha$.
b
)
Apartado b) $\tan\alpha$.
Retroalimentación: $\sin\alpha=\dfrac{6}{10}=0.6$. El otro cateto mide $\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$ cm, así que $\tan\alpha=\dfrac{6}{8}=0.75$.
4. La identidad fundamental de la trigonometría es:
(1 punto)
Retroalimentación: La identidad fundamental es $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$, que se deduce del teorema de Pitágoras. De ella se obtienen $1+\tan^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}$ y las demás relaciones.
5. Calcula $\sin 75^\circ$ usando la fórmula de adición $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$ con $75^\circ=45^\circ+30^\circ$. (Toma $\sin 45^\circ=\cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}$ y $\cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.)
(1.5 puntos)
6. Resuelve la ecuación trigonométrica $\sin x=\dfrac{1}{2}$ en el intervalo $[0^\circ,360^\circ)$.
(1.5 puntos)
a
)
Apartado a) La solución menor.
b
)
Apartado b) La solución mayor.
Retroalimentación: $\sin x=1/2$ se cumple en $x=30^\circ$ y, por la simetría del seno, también en su suplementario $x=180^\circ-30^\circ=150^\circ$. Ambas están en $[0^\circ,360^\circ)$.
7. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 13 cm y un cateto 5 cm. ¿Cuánto mide el otro cateto?
(1 punto)
Retroalimentación: Por Pitágoras: $b=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$ cm. Es el triángulo 5-12-13.
8. El teorema del seno afirma que en cualquier triángulo se cumple:
(1 punto)
Retroalimentación: El teorema del seno relaciona cada lado con el seno del ángulo opuesto: $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$. La opción con $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ es el teorema del coseno.