Ecuaciones de grado 2

Ecuaciones de segundo grado

Una ecuación de segundo grado (o cuadrática) con una incógnita es una igualdad que puede escribirse en la forma:

$$ ax^2 + bx + c = 0, \quad a \neq 0 $$

donde $a$, $b$ y $c$ son números reales. El coeficiente $a$ nunca puede ser cero, porque entonces la ecuación dejaría de ser de segundo grado.

Fórmula general

Las soluciones se obtienen con la fórmula general:

$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$

El signo $\pm$ indica que hay dos soluciones: una sumando la raíz y otra restándola.

El discriminante

La expresión $\Delta = b^2 - 4ac$ se llama discriminante y nos dice cuántas soluciones tiene la ecuación:

Valor de $\Delta$	Número de soluciones
$\Delta > 0$	Dos soluciones reales distintas
$\Delta = 0$	Una solución doble (dos iguales)
$\Delta < 0$	Ninguna solución real

Suma y producto de las raíces

Si las raíces son $x_1$ y $x_2$, se cumple:

$$ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} $$

Estas relaciones permiten comprobar resultados y construir ecuaciones con raíces conocidas: $x^2 - Sx + P = 0$, siendo $S$ la suma y $P$ el producto.

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Aplicamos la fórmula con $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$:

$$ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2} $$

Las soluciones son $x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3$ y $x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2$. Comprobación: $3^2 - 5\cdot 3 + 6 = 0$ y $2^2 - 5\cdot 2 + 6 = 0$. Además, la suma $3 + 2 = 5$ y el producto $3 \cdot 2 = 6$, como predice la teoría.

$2x^2 + 4x - 6 = 0$

Aquí $a = 2$, $b = 4$, $c = -6$. Conviene dividir toda la ecuación entre 2: $x^2 + 2x - 3 = 0$.

$$ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2} $$

Obtenemos $x_1 = 1$ y $x_2 = -3$. Comprobamos: $2(1)^2 + 4(1) - 6 = 0$ y $2(-3)^2 + 4(-3) - 6 = 18 - 12 - 6 = 0$. Ambas soluciones son correctas.

$x^2 - 6x + 9 = 0$ y $x^2 + x + 1 = 0$

En $x^2 - 6x + 9 = 0$ el discriminante es $\Delta = 36 - 36 = 0$: hay una solución doble $x = \frac{6}{2} = 3$. Efectivamente $(x - 3)^2 = 0$.

En $x^2 + x + 1 = 0$ el discriminante es $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$: no tiene soluciones reales, ya que no existe raíz cuadrada de un número negativo en los reales.

Aplicación a las ciencias sociales

Las ecuaciones de segundo grado modelan beneficios, ingresos o áreas. Por ejemplo, el beneficio mensual de una empresa es $B(x) = -x^2 + 60x - 500$ euros cuando vende $x$ unidades. Para saber qué ventas anulan el beneficio resolvemos $-x^2 + 60x - 500 = 0$:

$$ x = \frac{-60 \pm \sqrt{3600 - 2000}}{-2} = \frac{-60 \pm 40}{-2} $$

Las soluciones son $x = 10$ y $x = 50$: con 10 o 50 unidades vendidas el beneficio es nulo; entre ambos valores es positivo.

Errores comunes

Olvidar el signo de $b$ al aplicar la fórmula (si $b = -5$, en la fórmula va $+5$).
No dividir entre $2a$, sino entre $2$.
Confundir el discriminante con las soluciones: $\Delta$ solo clasifica la ecuación.
Descartar soluciones negativas sin justificación cuando representan cantidades (a veces sí son válidas matemáticamente).

1. ¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación $x^2 - 4x + 4 = 0$? (1 puntos)

Dos soluciones distintas Una solución doble Ninguna solución real Infinitas soluciones

Retroalimentación: El discriminante es $\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0$. Cuando $\Delta = 0$ hay una única solución doble: $x = 2$.

2. Resuelve $x^2 - 9 = 0$ y escribe la solución positiva. (1 puntos)

Retroalimentación: Despejamos: $x^2 = 9$, por tanto $x = \pm \sqrt{9} = \pm 3$. La solución positiva es $x = 3$.

3. La ecuación $x^2 + 2x + 5 = 0$: (1 puntos)

Tiene dos soluciones reales Tiene una solución doble No tiene soluciones reales No es una ecuación de segundo grado

Retroalimentación: El discriminante es $\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16 < 0$. Al ser negativo, la ecuación no tiene soluciones reales.

4. Resuelve $2x^2 - 8x + 6 = 0$ (divide primero entre 2). Escribe sus dos soluciones. (1 puntos)

a ) Solución menor

b ) Solución mayor

Retroalimentación: Dividimos entre 2: $x^2 - 4x + 3 = 0$. Factorizando: $(x-1)(x-3) = 0$, de donde $x = 1$ o $x = 3$.

5. Para la ecuación $x^2 - 8x + 15 = 0$, ¿cuánto vale la suma de sus dos raíces? (1 puntos)

Retroalimentación: Por la relación de Vieta, la suma de las raíces es $S = -b/a = -(-8)/1 = 8$. (De hecho las raíces son 3 y 5).

6. El ancho de un rectángulo mide $x$ metros y el largo mide 5 metros más. Si el área es 24 m², plantea $x(x+5) = 24$ y calcula el ancho. (1 puntos)

Retroalimentación: Resolvemos $x^2 + 5x - 24 = 0$: $x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 96}}{2} = \frac{-5 \pm 11}{2}$. Las soluciones son $x = 3$ y $x = -8$; descartamos $-8$ por ser negativa, así que el ancho mide 3 m.