Ecuaciones racionales

Una ecuación racional es aquella en la que la incógnita aparece en el denominador de alguna fracción, por ejemplo:

$$ \frac{2}{x} + \frac{1}{x+1} = 3 $$

A diferencia de las ecuaciones polinómicas, aquí no todos los valores de $x$ son válidos: los valores que anulan un denominador quedan excluidos. El conjunto de valores permitidos se llama dominio de definición.

Pasos para resolverlas

1. Calcular el dominio: excluir los valores que anulan cualquier denominador. 2. Reducir a común denominador: usar el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores. 3. Multiplicar toda la ecuación por el m.c.m. para eliminar los denominadores. 4. Resolver la ecuación resultante (normalmente lineal o de segundo grado). 5. Comprobar que las soluciones obtenidas pertenecen al dominio. Las que no, se descartan: son soluciones extrañas.

$\frac{3}{x} = \frac{1}{2}$

Dominio: $x \neq 0$. Multiplicamos ambos miembros por $2x$:

$$ 2x \cdot \frac{3}{x} = 2x \cdot \frac{1}{2} \Rightarrow 6 = x $$

La solución es $x = 6$, que pertenece al dominio ($6 \neq 0$). Comprobación: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Correcto.

$\frac{2}{x+3} = \frac{1}{2}$

Dominio: $x \neq -3$. Multiplicamos en cruz (equivalente a multiplicar por $2(x+3)$):

$$ 2 \cdot 2 = 1 \cdot (x+3) \Rightarrow 4 = x + 3 \Rightarrow x = 1 $$

La solución $x = 1$ es válida. Comprobación: $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Correcto.

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} = \frac{3}{2}$

Dominio: $x \neq 0$ y $x \neq -1$. El m.c.m. de los denominadores es $2x(x+1)$. Multiplicamos:

$$ 2(x+1) + 2x = 3x(x+1) \Rightarrow 2x + 2 + 2x = 3x^2 + 3x \Rightarrow 3x^2 - x - 2 = 0 $$

Resolvemos con la fórmula general: $x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{6} = \frac{1 \pm 5}{6}$. Las soluciones son $x_1 = 1$ y $x_2 = -\frac{2}{3}$. Ambas pertenecen al dominio, así que ambas son válidas.

solución extraña, $\frac{x}{x-1} = \frac{1}{x-1} + 2$

Dominio: $x \neq 1$. Multiplicamos por $x-1$:

$$ x = 1 + 2(x-1) \Rightarrow x = 1 + 2x - 2 \Rightarrow x = 2x - 1 \Rightarrow x = 1 $$

Pero $x = 1$ anula el denominador: no pertenece al dominio. Por tanto la ecuación no tiene solución. Este es el ejemplo típico de solución extraña: al multiplicar por una expresión que puede anularse, hemos introducido una raíz falsa.

Aplicaciones

Las ecuaciones racionales aparecen en problemas de repartos, velocidades medias (tiempo = distancia / velocidad) y costes medios en economía. Por ejemplo, si el coste medio de producir $x$ unidades es $\frac{1000}{x} + 2$ euros y queremos que sea 7 €:

$$ \frac{1000}{x} + 2 = 7 \Rightarrow \frac{1000}{x} = 5 \Rightarrow x = 200 $$

Con 200 unidades producidas el coste medio es de 7 €.

Errores comunes

No calcular el dominio antes de operar.
Olvidar multiplicar todos los términos por el m.c.m. (solo algunos).
No comprobar las soluciones al final: una raíz que anula un denominador hay que descartarla.
Confundir el m.c.m. con el producto de denominadores cuando no son primos entre sí.

1. ¿Cuál es el dominio de definición de la ecuación $\frac{3}{x+1} = 5$? (1 puntos)

Todos los números reales Todos los reales excepto $x = 0$ Todos los reales excepto $x = -1$ Todos los reales excepto $x = 1$

Retroalimentación: El denominador $x+1$ se anula cuando $x = -1$. Ese valor queda excluido del dominio porque dividir entre cero no está definido.

2. Resuelve la ecuación $\frac{4}{x} = 2$. (1 puntos)

Retroalimentación: Multiplicamos por $x$: $4 = 2x$, de donde $x = 2$. Como $x \neq 0$ (dominio), la solución es válida.

3. Resuelve la ecuación $\frac{2}{x+3} = \frac{1}{2}$. (1 puntos)

Retroalimentación: Multiplicando en cruz: $2 \cdot 2 = 1 \cdot (x+3)$, es decir $4 = x + 3$, luego $x = 1$. El dominio excluye $x = -3$, así que $x = 1$ es válida.

4. Al resolver $\frac{x^2 - 1}{x-1} = 2$ se obtiene $x = 1$. ¿Cuál es la conclusión correcta? (1 puntos)

$x = 1$ es la solución de la ecuación $x = 1$ es una solución extraña: la ecuación no tiene solución Hay dos soluciones: $x = 1$ y $x = -1$ La ecuación tiene infinitas soluciones

Retroalimentación: Multiplicando por $x-1$: $x^2 - 1 = 2(x-1)$, es decir $x^2 - 2x + 1 = 0$, cuya única raíz es $x = 1$. Pero $x = 1$ anula el denominador original: no pertenece al dominio, así que es una solución extraña y la ecuación no tiene solución válida.

5. El coste medio de producir $x$ unidades es $\frac{1000}{x} + 2$ euros. ¿Cuántas unidades hay que producir para que el coste medio sea 7 €? (1 puntos)

Retroalimentación: Planteamos $\frac{1000}{x} + 2 = 7$, luego $\frac{1000}{x} = 5$ y despejando $x = \frac{1000}{5} = 200$ unidades.

6. Resuelve el sistema de ecuaciones racionales: apartado a) $\frac{1}{x} = 2$ y apartado b) $\frac{1}{x+1} = \frac{1}{3}$. (1 puntos)

a ) Apartado a)

b ) Apartado b)

Retroalimentación: a) $x = \frac{1}{2}$. b) $x = 2$. En ambos casos la solución pertenece al dominio (los denominadores no se anulan).