Inecuaciones
Una inecuación es una desigualdad ($<$, $\leq$, $>$, $\geq$) entre dos expresiones que contiene una incógnita. Resolverla consiste en hallar todos los valores de la incógnita que la cumplen; la solución suele expresarse como un intervalo o una unión de intervalos.
Propiedades clave
- Si se suma o resta un mismo número a ambos miembros, la desigualdad se mantiene.
- Si se multiplican o dividen ambos miembros por un número positivo, la desigualdad se mantiene.
- Si se multiplican o dividen ambos miembros por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido.
Inecuaciones de primer grado
Se resuelven despejando la incógnita, con cuidado de invertir el signo al multiplicar o dividir por un negativo.
$3x - 5 < 7$
Sumamos 5: $3x < 12$. Dividimos entre 3 (positivo, no cambia el sentido): $x < 4$.
Solución: $(-\infty, 4)$.
$-2x + 3 \geq 7$
Restamos 3: $-2x \geq 4$. Dividimos entre $-2$: cambia el sentido, $x \leq -2$.
Solución: $(-\infty, -2]$.
Inecuaciones de segundo grado
Para resolver $ax^2 + bx + c > 0$ (o cualquier otra desigualdad):
1. Se hallan las raíces de $ax^2 + bx + c = 0$. 2. Las raíces dividen la recta real en intervalos; se estudia el signo del polinomio en cada uno. 3. Se eligen los intervalos donde el signo coincide con el pedido.
Recuerda: si $a > 0$, la parábola es cóncava hacia arriba, por lo que el polinomio es positivo fuera del intervalo de las raíces y negativo entre ellas.
$x^2 - 5x + 6 < 0$
Raíces: $x^2 - 5x + 6 = 0 \Rightarrow x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}$, es decir $x = 2$ y $x = 3$.
Como $a = 1 > 0$, el polinomio es negativo entre las raíces. Solución: $(2, 3)$.
$x^2 - 4 \geq 0$
Raíces: $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2$.
Con $a = 1 > 0$, el polinomio es positivo fuera del intervalo $(-2, 2)$. Solución: $(-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$.
Inecuaciones con denominadores
Conviene multiplicar por el mínimo común múltiplo de los denominadores, pero ojo: si el m.c.m. depende de $x$ y puede ser negativo, hay que estudiar casos. Lo más seguro es pasar todo a un miembro, reducir a común denominador y estudiar el signo de la fracción resultante.
Aplicación
Una empresa produce $x$ unidades y sus beneficios son $B(x) = -x^2 + 60x - 500$ €. Queremos saber cuándo hay beneficios ($B(x) > 0$):
Raíces: $x = \frac{60 \pm \sqrt{3600 - 2000}}{2} = \frac{60 \pm 40}{2}$, es decir $x = 10$ y $x = 50$. La solución es $10 < x < 50$: hay beneficios vendiendo entre 10 y 50 unidades.
Errores comunes
- Olvidar invertir el sentido de la desigualdad al multiplicar o dividir por un número negativo.
- Expresar la solución solo con una desigualdad sin usar intervalos.
- Confundir los extremos abiertos ($<$) con los cerrados ($\leq$).
- En inecuaciones de segundo grado, olvidar que la solución puede ser una unión de dos intervalos.