Derivadas — 1º Bachillerato Aplicadas

La derivada de $f$ en $a$ es $f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$ e indica la pendiente de la recta tangente en ese punto.

Reglas básicas: $(k)' = 0$, $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$, $(u \pm v)' = u' \pm v'$, $(k \cdot u)' = k \cdot u'$.

Regla del producto: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$. Regla del cociente: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}$.

Interpretación económica: el coste marginal es la derivada de la función de costes y aproxima el coste de producir una unidad más.

Monotonía: si $f'(x) > 0$ la función crece; si $f'(x) < 0$ decrece. Los puntos donde $f'(x) = 0$ son puntos críticos: si la derivada cambia de positiva a negativa hay máximo, y de negativa a positiva, mínimo.

1. ¿Cuál es la derivada de la función $f(x) = x^3$? (1 punto)

2. Dada la función $f(x) = x^2 + 3x$, calcula $f'(2)$. (1.5 puntos)

3. Dada la función $f(x) = x^2 - 4x + 3$: (2 puntos)

a ) Punto crítico (valor de $x$ donde $f'(x) = 0$)

b ) ¿Es un máximo o un mínimo?

4. La función de costes de una empresa es $C(x) = 50x + 200$, donde $x$ es el número de unidades producidas. ¿Cuál es el coste marginal? (1.5 puntos)

5. Si $f'(x) < 0$ en un intervalo, ¿qué podemos afirmar sobre la función en ese intervalo? (1 punto)

6. La función de beneficios de una empresa es $B(x) = -x^2 + 6x$ (miles de euros, $x$ en miles de unidades). (2 puntos)

a ) Número de unidades que maximiza el beneficio

b ) Beneficio máximo

7. Halla la derivada de $f(x) = 5x^4 - 3x^2 + 2$ y escribe el coeficiente de $x^3$ en la derivada. (1 punto)