La regla de la cadena
Una función compuesta es una función aplicada sobre otra: $h(x) = f(g(x))$. Por ejemplo, en $h(x) = (3x+1)^5$ la función exterior es $f(u) = u^5$ y la interior es $g(x) = 3x+1$.
Enunciado
Si $h(x) = f(g(x))$, la derivada es:
En palabras: se deriva la función exterior y se multiplica por la derivada de la función interior.
Casos particulares muy usados
| Función | Derivada |
|---|---|
| $u^n$ | $n \cdot u^{n-1} \cdot u'$ |
| $e^u$ | $e^u \cdot u'$ |
| $\ln u$ | $\dfrac{u'}{u}$ |
| $\sqrt{u}$ | $\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ |
| $\sin u$ | $\cos u \cdot u'$ |
| $\cos u$ | $-\sin u \cdot u'$ |
donde $u = g(x)$ y $u' = g'(x)$.
potencia de un polinomio
Deriva $f(x) = (3x+1)^5$.
La exterior es $u^5$ y la interior $u = 3x+1$, con $u' = 3$. Aplicando la regla:
exponencial
Deriva $f(x) = e^{2x}$.
logaritmo
Deriva $f(x) = \ln(x^2+1)$.
raíz cuadrada
Deriva $f(x) = \sqrt{x^2+3}$.
cadena + regla del producto
Deriva $f(x) = x^2 \cdot e^{3x}$.
Primero la regla del producto y, dentro, la cadena para $e^{3x}$:
Errores comunes
- Olvidar multiplicar por $u'$: es el error más frecuente. Si $f(x) = (x^2+1)^3$, la respuesta $3(x^2+1)^2$ está incompleta: falta el factor $2x$.
- No identificar la función interior: conviene escribir primero cuál es $u$ y calcular $u'$ aparte.
- Confundir $\ln u$ con $(\ln u)^n$: en el primer caso la derivada es $u'/u$; en el segundo hay que aplicar además la regla de la potencia.
- Olvidar simplificar la expresión final.
Consejo de comprobación
Siempre que puedas, comprueba el resultado evaluando la derivada en un punto sencillo (por ejemplo $x = 0$) con la calculadora o derivando la función desarrollada.