Máximos y mínimos de una función
Un máximo local (o relativo) es un punto donde la función pasa de crecer a decrecer: el valor de la función en ese punto es mayor que en sus alrededores. Un mínimo local es el caso contrario: la función pasa de decrecer a crecer.
Puntos críticos
Si $f$ es derivable, los posibles extremos locales se encuentran donde la derivada se anula:
Estos puntos se llaman puntos críticos. También puede haber extremos donde la derivada no exista.
Monotonía de una función
El signo de la derivada indica cómo crece o decrece la función:
| Signo de $f'(x)$ | Comportamiento de $f$ |
|---|---|
| $f'(x) > 0$ | $f$ es creciente |
| $f'(x) < 0$ | $f$ es decreciente |
| $f'(x) = 0$ | punto crítico (posible extremo) |
Criterio de la segunda derivada
Si $x_0$ es un punto crítico ($f'(x_0) = 0$):
- Si $f''(x_0) > 0$: en $x_0$ hay un mínimo local.
- Si $f''(x_0) < 0$: en $x_0$ hay un máximo local.
- Si $f''(x_0) = 0$: el criterio no decide; hay que estudiar el signo de $f'$.
$f(x) = x^3 - 3x$
Derivamos: $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$.
Puntos críticos: $x = 1$ y $x = -1$.
Segunda derivada: $f''(x) = 6x$.
- En $x = 1$: $f''(1) = 6 > 0$, hay un mínimo local en $(1, -2)$.
- En $x = -1$: $f''(-1) = -6 < 0$, hay un máximo local en $(-1, 2)$.
La tabla de monotonía lo confirma: $f$ crece en $(-\infty, -1)$, decrece en $(-1, 1)$ y vuelve a crecer en $(1, +\infty)$.
$f(x) = x^2 - 4x + 5$
$f'(x) = 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$.
Como $f''(x) = 2 > 0$ siempre, en $x = 2$ hay un mínimo absoluto: $f(2) = 4 - 8 + 5 = 1$.
La parábola abre hacia arriba y su vértice $(2, 1)$ es el punto más bajo de la gráfica.
tabla de monotonía de $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - x^2$
$f'(x) = x^2 - 2x = x(x-2)$. Puntos críticos: $x = 0$ y $x = 2$.
| Intervalo | $(-\infty, 0)$ | $(0, 2)$ | $(2, +\infty)$ |
|---|---|---|---|
| Signo de $f'$ | $+$ | $-$ | $+$ |
| $f$ | crece | decrece | crece |
En $x = 0$ hay un máximo local con $f(0) = 0$, y en $x = 2$ un mínimo local con $f(2) = \frac{8}{3} - 4 = -\frac{4}{3}$.
Extremos absolutos en un intervalo cerrado
Para hallar el máximo y el mínimo absolutos de $f$ en $[a, b]$:
1. Calcula los puntos críticos que estén dentro del intervalo. 2. Evalúa $f$ en los puntos críticos y en los extremos $a$ y $b$. 3. El mayor valor es el máximo absoluto y el menor, el mínimo absoluto.
$f(x) = -x^2 + 4x$ en $[0, 3]$
$f'(x) = -2x + 4 = 0 \Rightarrow x = 2$, que está dentro de $[0, 3]$.
Valores: $f(0) = 0$, $f(2) = -4 + 8 = 4$, $f(3) = -9 + 12 = 3$.
El máximo absoluto es 4 (en $x = 2$) y el mínimo absoluto es 0 (en $x = 0$).
Errores comunes
- Confundir máximo local con máximo absoluto: un extremo local solo es mayor que sus vecinos.
- Olvidar evaluar los extremos del intervalo al buscar extremos absolutos.
- Usar la segunda derivada cuando $f''(x_0) = 0$ sin comprobar el signo de $f'$.
- No comprobar que el punto crítico pertenece al dominio o al intervalo pedido.