Distribuciones de probabilidad — 1º Bachillerato Aplicadas

Binomial $B(n, p)$: cuenta el número de éxitos en $n$ pruebas independientes con probabilidad de éxito $p$. $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$. Media $\mu = n \cdot p$; desviación típica $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$.

Normal $N(\mu, \sigma)$: campana simétrica. Para calcular probabilidades se tipifica: $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$, y se busca en la tabla $N(0, 1)$.

Regla empírica: entre $\mu - \sigma$ y $\mu + \sigma$ está el 68 %; entre $\mu - 2\sigma$ y $\mu + 2\sigma$, el 95 %; entre $\mu - 3\sigma$ y $\mu + 3\sigma$, el 99,7 %.

Corrección por continuidad: al aproximar una binomial por una normal se usa $P(X = k) \approx P(k - 0{,}5 \leq X \leq k + 0{,}5)$.

1. En una distribución binomial $B(n, p)$, ¿qué representa la variable $X$? (1 punto)

2. Una variable sigue una binomial $B(10, 0{,}5)$. ¿Cuál es su media $\mu$? (1.5 puntos)

3. Una variable sigue una binomial $B(20, 0{,}25)$. (2 puntos)

a ) Media $\mu$

b ) Desviación típica $\sigma$

4. Una variable sigue una normal $N(100, 10)$. Tipifica el valor $x = 120$: ¿cuánto vale $z$? (1.5 puntos)

5. En una normal estándar $N(0, 1)$, ¿cuál es la probabilidad de que $z < 0$? (1 punto)

6. Se lanza una moneda 4 veces y se cuenta el número de caras ($X \sim B(4, 0{,}5)$). (2 puntos)

a ) Probabilidad de obtener 0 caras, $P(X = 0)$

b ) Probabilidad de obtener al menos 1 cara, $P(X \geq 1)$

7. Una variable sigue una normal $N(50, 5)$. ¿Qué porcentaje de los datos se encuentra entre 45 y 55 (una desviación típica)? (1 punto)