Estadística bidimensional

La estadística bidimensional estudia conjuntos de datos formados por pares de valores $(x_i, y_i)$ que miden dos características distintas ($X$ e $Y$) sobre los mismos individuos.

Por ejemplo, para cada alumno se registran las horas de estudio ($X$) y la nota obtenida en el examen ($Y$).

Tabla de doble entrada

Cuando las variables toman pocos valores distintos, los datos se organizan en una tabla de doble entrada: las filas corresponden a los valores de $X$, las columnas a los de $Y$, y cada casilla contiene la frecuencia conjunta $n_{ij}$, es decir, el número de individuos con ese par de valores.

A partir de la tabla se obtienen dos tipos de distribuciones:

• Distribuciones marginales: las frecuencias de $X$ (sumando las filas) y las de $Y$ (sumando las columnas). Se comportan como una distribución unidimensional cualquiera.
• Distribuciones condicionadas: la distribución de una variable cuando la otra toma un valor fijo. Por ejemplo, $X$ condicionada a $Y = y_j$ se obtiene dividiendo la columna de $y_j$ entre su total.

Nube de puntos

La representación gráfica de los pares $(x_i, y_i)$ en el plano se llama diagrama de dispersión o nube de puntos. Su forma orienta sobre la relación entre las variables:

• Nube alargada ascendente → relación lineal directa (a más $X$, más $Y$).
• Nube alargada descendente → relación lineal inversa.
• Nube sin forma definida → no hay relación lineal aparente.

Covarianza

La covarianza $S_{xy}$ mide el grado en que dos variables varían conjuntamente:

• Si $S_{xy} > 0$, predomina la tendencia directa.
• Si $S_{xy} < 0$, predomina la tendencia inversa.
• Si $S_{xy} \approx 0$, apenas existe relación lineal.

Errores comunes

• Confundir la covarianza con el coeficiente de correlación: la covarianza no está acotada y depende de las unidades de medida.
• Olvidar restar el producto $\bar{x} \cdot \bar{y}$ al calcular $S_{xy}$.
• Interpretar una covarianza cercana a cero como ausencia total de relación: puede existir relación no lineal.