Medidas de centralización
Las medidas de centralización resumen un conjunto de datos en un único valor representativo que indica el centro de la distribución. Las principales son la media, la mediana y la moda.
Media aritmética
Para datos no agrupados, la media es la suma de todos los valores dividida entre el número total de datos:
Si los datos aparecen con frecuencias $n_i$:
Para datos agrupados en intervalos se utiliza la marca de clase $x_i$ (punto medio del intervalo) en la misma fórmula.
Mediana
La mediana ($Me$) es el valor que deja el 50% de los datos a cada lado, una vez ordenados:
- Si $N$ es impar: el dato que ocupa la posición $\dfrac{N+1}{2}$.
- Si $N$ es par: la media de los dos datos centrales.
Es más robusta que la media frente a valores atípicos.
Moda
La moda ($Mo$) es el valor (o intervalo) que más se repite, es decir, el de mayor frecuencia. Puede no existir (todos los valores distintos) o existir varias (distribución bimodal).
resuelto: notas de 10 alumnos
Notas: 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 10
- Media: $\bar{x} = \dfrac{4+5+5+6+6+6+7+8+8+10}{10} = \dfrac{65}{10} = 6{,}5$.
- Mediana: con $N = 10$ (par), los datos centrales son el 5.º y 6.º: $\dfrac{6+6}{2} = 6$.
- Moda: el valor 6 aparece 3 veces, más que ningún otro: $Mo = 6$.
| Medida | Valor |
|---|---|
| Media | 6,5 |
| Mediana | 6 |
| Moda | 6 |
resuelto: datos agrupados (estaturas)
Estaturas de 20 alumnos en intervalos de 5 cm:
| Intervalo | Marca $x_i$ | $n_i$ | $x_i \cdot n_i$ |
|---|---|---|---|
| [150, 155) | 152,5 | 3 | 457,5 |
| [155, 160) | 157,5 | 6 | 945,0 |
| [160, 165) | 162,5 | 7 | 1137,5 |
| [165, 170) | 167,5 | 4 | 670,0 |
| Total | 20 | 3210,0 |
La moda se encuentra en el intervalo [160, 165), el de mayor frecuencia.
Propiedades y elección de la medida
- La media usa toda la información, pero se ve muy afectada por valores extremos.
- La mediana es adecuada cuando hay valores atípicos o datos ordinales.
- La moda es útil para datos cualitativos o cuando interesa el valor más frecuente.
- La media de una constante $c$ sumada a todos los datos aumenta en $c$; si se multiplican por $c$, la media se multiplica por $c$.