El límite de una función en un punto $a$ es el valor al que se aproxima $f(x)$ cuando $x$ se acerca a $a$. Si es un polinomio, $\lim_{x \to a} P(x) = P(a)$.
Indeterminaciones: $0/0$ se resuelve factorizando y simplificando; $\infty/\infty$ dividiendo por la mayor potencia; $\infty - \infty$ multiplicando por el conjugado.
Límites en el infinito de funciones racionales: si el grado del numerador es igual al del denominador, el límite es el cociente de los coeficientes principales.
Continuidad: $f$ es continua en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. Las funciones racionales son continuas en todo su dominio.
Asíntota vertical en $x = a$ si el límite lateral tiende a $\pm\infty$; asíntota horizontal si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = k$.
a
)
¿Qué indeterminación se presenta al sustituir $x = 3$?
b
)
Valor del límite
Retroalimentación: Se factoriza el numerador: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$; simplificando, el límite es $3 + 3 = 6$.
4. Calcula el límite en el infinito: $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x + 1}{x}$.
(1.5 puntos)
Retroalimentación: Dividiendo por $x$: $\lim \dfrac{2 + 1/x}{1} = 2$.
5. La función $f(x) = \dfrac{1}{x - 1}$ en $x = 1$:
(1.5 puntos)
Retroalimentación: El denominador se anula en $x = 1$, la función no existe en ese punto y los límites laterales tienden a $\pm\infty$: asíntota vertical.
6. Estudia la continuidad de $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ en $x = 2$:
(2 puntos)
a
)
¿Cuánto vale el límite $\lim_{x \to 2} f(x)$?
b
)
¿Está definida la función en $x = 2$?
Retroalimentación: El límite es 4, pero $f(2)$ no existe, por lo que la función no es continua en $x = 2$ (presenta una discontinuidad evitable).
7. ¿Cuál es el límite cuando $x$ tiende a 0 de $f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$?
(1 punto)
Retroalimentación: Es un límite notable: $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$.