Ecuaciones de Primer Grado

¿Qué es una ecuación?

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones matemáticas en la que aparece una letra llamada incógnita (normalmente $x$). Resolver la ecuación consiste en encontrar el valor de $x$ que hace que la igualdad sea verdadera.

Ejemplo: en la ecuación $x + 3 = 7$, la solución es $x = 4$, porque $4 + 3 = 7$.

Partes de una ecuación

$$ 2x + 5 = 13 $$

Primer miembro: $2x + 5$ (lo que está a la izquierda del $=$)
Segundo miembro: $13$ (lo que está a la derecha del $=$)
Incógnita: $x$
Términos: $2x$ (término con la incógnita) y $5$, $13$ (términos independientes)

Cómo resolver una ecuación de primer grado

Para resolver una ecuación hay que despejar la incógnita, es decir, dejar la $x$ sola en un miembro. Usamos dos reglas básicas:

Regla 1: Sumar o restar

Si un número está sumando en un miembro, pasa al otro restando (y al revés).

$$ x + 5 = 12 \Rightarrow x = 12 - 5 \Rightarrow x = 7 $$

Regla 2: Multiplicar o dividir

Si un número está multiplicando a la incógnita, pasa al otro miembro dividiendo (y al revés).

$$ 3x = 15 \Rightarrow x = \frac{15}{3} \Rightarrow x = 5 $$

resuelto paso a paso: $2x + 6 = 14$

1. El $+6$ está sumando, pasa restando: $2x = 14 - 6$ 2. Operamos: $2x = 8$ 3. El $2$ está multiplicando, pasa dividiendo: $x = 8 : 2$ 4. Solución: $x = 4$ 5. Comprobación: $2 \cdot 4 + 6 = 8 + 6 = 14$ ✓

Ecuaciones con paréntesis

Cuando hay paréntesis, primero los eliminamos aplicando la propiedad distributiva:

$$ a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c $$

$3(x - 2) = 9$

1. Quitamos el paréntesis: $3x - 6 = 9$ 2. El $-6$ pasa sumando: $3x = 9 + 6 = 15$ 3. El $3$ pasa dividiendo: $x = 15 : 3 = 5$ 4. Comprobación: $3(5 - 2) = 3 \cdot 3 = 9$ ✓

Problemas con ecuaciones

Para resolver un problema seguimos estos pasos:

1. Leer el problema con atención. 2. Elegir la incógnita ($x$ = lo que preguntan). 3. Plantear la ecuación con los datos. 4. Resolver la ecuación. 5. Comprobar que la solución tiene sentido.

Problema: "La edad de Ana más 7 años es 20. ¿Cuántos años tiene Ana?"

Incógnita: $x$ = edad de Ana
Ecuación: $x + 7 = 20$
Resolución: $x = 20 - 7 = 13$
Ana tiene 13 años. Comprobación: $13 + 7 = 20$ ✓

Problema: "El triple de un número es 24. ¿Cuál es el número?"

Incógnita: $x$ = el número
Ecuación: $3x = 24$
Resolución: $x = 24 : 3 = 8$
El número es 8. Comprobación: $3 \cdot 8 = 24$ ✓

Errores comunes

Error	Incorrecto	Correcto
Cambiar el signo mal	$x - 4 = 9 \Rightarrow x = 9 - 4$	$x - 4 = 9 \Rightarrow x = 9 + 4 = 13$
Olvidar la distributiva	$2(x + 3) = 2x + 3$	$2(x + 3) = 2x + 6$
Dividir en vez de restar	$x + 5 = 12 \Rightarrow x = 12 : 5$	$x = 12 - 5 = 7$

Consejo: comprueba siempre la solución sustituyendo el valor de $x$ en la ecuación original.