Razón y proporción
Una razón es el cociente entre dos cantidades. Por ejemplo, si en una bolsa hay 3 canicas rojas y 4 azules, la razón es $\frac{3}{4}$: por cada 3 rojas hay 4 azules.
Una proporción es una igualdad entre dos razones:
Propiedad fundamental: en una proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios:
Por ejemplo, en $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$ se cumple que $3 \cdot 12 = 4 \cdot 9 = 36$.
Magnitudes directamente proporcionales
Dos magnitudes son directamente proporcionales si, al multiplicar una de ellas por un número, la otra queda multiplicada por ese mismo número. Su cociente es constante:
La constante $k$ se llama constante de proporcionalidad.
Ejemplo: si 1 kg de manzanas cuesta 2 €, entonces 2 kg cuestan 4 € y 3 kg cuestan 6 €. El cociente precio/peso es siempre 2.
Regla de tres directa
La regla de tres sirve para calcular un valor desconocido cuando conocemos otros tres. Si las magnitudes son directamente proporcionales:
resuelto: un coche recorre 120 km en 2 horas. ¿Cuántos km recorre en 5 horas a la misma velocidad?
1. Plantemos la regla de tres: $2$ h $\rightarrow 120$ km y $5$ h $\rightarrow x$ km 2. Como es directamente proporcional: $x = \frac{120 \cdot 5}{2}$ 3. Calculamos: $x = \frac{600}{2} = 300$ km 4. Solución: recorre 300 km en 5 horas
resuelto: una receta para 4 personas usa 200 g de harina. ¿Cuánta harina necesitamos para 6 personas?
1. Regla de tres: $4$ personas $\rightarrow 200$ g y $6$ personas $\rightarrow x$ g 2. $x = \frac{200 \cdot 6}{4} = \frac{1200}{4} = 300$ g 3. Solución: necesitamos 300 g de harina
Porcentajes
Un porcentaje es una proporción respecto a 100. El 20% de una cantidad es $\frac{20}{100}$ de esa cantidad:
resuelto: en una clase de 25 alumnos, el 40% son chicas. ¿Cuántas chicas hay?
1. Calculamos el 40% de 25: $\frac{40}{100} \cdot 25$ 2. Operamos: $\frac{40 \cdot 25}{100} = \frac{1000}{100} = 10$ 3. Solución: hay 10 chicas en la clase
Errores comunes
| Error | Incorrecto | Correcto |
|---|---|---|
| Sumar en vez de usar la regla de tres | 3 kg $\rightarrow$ 6 €, 5 kg $\rightarrow$ 8 € | 5 kg $\rightarrow$ 10 € |
| Confundir porcentaje con cantidad | El 20% de 80 es 20 | El 20% de 80 es $\frac{20}{100} \cdot 80 = 16$ |
| Invertir la regla de tres | $x = \frac{6 \cdot 3}{5}$ | $x = \frac{6 \cdot 5}{3}$ |
Consejo: comprueba siempre si la respuesta es razonable: más kilos deben costar más dinero, más personas necesitan más harina.