Divisores y múltiplos comunes
Un divisor común de dos números es un número que divide a ambos exactamente. Por ejemplo, los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12; los de 18 son 1, 2, 3, 6, 9 y 18. Los divisores comunes son 1, 2, 3 y 6.
Un múltiplo común de dos números es un número que es múltiplo de ambos. Los múltiplos de 4 son 4, 8, 12, 16, 20, 24... y los de 6 son 6, 12, 18, 24... Los múltiplos comunes son 12, 24, 36...
Máximo común divisor (MCD)
El máximo común divisor de dos números es el mayor de los divisores comunes. Se escribe MCD(a, b).
Método 1: por divisores. Escribimos todos los divisores de cada número y elegimos el mayor común. En el ejemplo anterior, MCD(12, 18) = 6.
Método 2: con la descomposición factorial. Se toman los factores comunes con el menor exponente.
resuelto: MCD(24, 36) con descomposición factorial
1. Descomponemos: $24 = 2^3 \cdot 3$ y $36 = 2^2 \cdot 3^2$ 2. Factores comunes: 2 y 3 3. Tomamos el menor exponente de cada uno: $2^2$ y $3$ 4. Multiplicamos: MCD $= 2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$ 5. Comprobación: los divisores de 24 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 y los de 36 son 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36; el mayor común es 12 ✓
Mínimo común múltiplo (MCM)
El mínimo común múltiplo de dos números es el menor de los múltiplos comunes, distinto de 0. Se escribe MCM(a, b).
Método 1: por múltiplos. Escribimos los múltiplos de cada número y elegimos el menor común. MCM(4, 6) = 12.
Método 2: con la descomposición factorial. Se toman los factores comunes y no comunes con el mayor exponente.
resuelto: MCM(6, 8) con descomposición factorial
1. Descomponemos: $6 = 2 \cdot 3$ y $8 = 2^3$ 2. Factores comunes y no comunes: 2 y 3 3. Tomamos el mayor exponente de cada uno: $2^3$ y $3$ 4. Multiplicamos: MCM $= 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$ 5. Comprobación: los múltiplos de 6 son 6, 12, 18, 24... y los de 8 son 8, 16, 24...; el menor común es 24 ✓
Comparación: MCD frente a MCM
| MCD | MCM | |
|---|---|---|
| ¿Qué es? | El mayor divisor común | El menor múltiplo común |
| ¿Cómo se calcula? | Factores comunes con menor exponente | Factores comunes y no comunes con mayor exponente |
| ¿Cuándo se usa? | Repartir en partes iguales | Eventos que se repiten y coinciden |
| ¿Es mayor o menor que los números? | Menor o igual que el menor de los dos | Mayor o igual que el mayor de los dos |
Si dos números son primos entre sí (no tienen divisores comunes), su MCD es 1. Por ejemplo, MCD(5, 7) = 1 y MCM(5, 7) = 35.
Errores comunes
| Error | Incorrecto | Correcto |
|---|---|---|
| Confundir MCD y MCM | MCD(4, 6) = 12 | MCD(4, 6) = 2 y MCM(4, 6) = 12 |
| Tomar el mayor exponente en el MCD | MCD(24, 36) = $2^3 \cdot 3^2$ | MCD(24, 36) = $2^2 \cdot 3 = 12$ |
| Olvidar factores no comunes en el MCM | MCM(6, 8) = $2^3$ | MCM(6, 8) = $2^3 \cdot 3 = 24$ |
Consejo: comprueba el resultado: el MCD debe dividir a ambos números y el MCM debe ser múltiplo de ambos.