Tales

El teorema de Tales

Si dos rectas paralelas cortan a dos rectas secantes (que se cruzan), los segmentos que se forman son proporcionales.

Imagina dos rectas $r$ y $s$ que se cruzan en un punto $O$, y dos rectas paralelas que las cortan en los puntos $A$, $B$, $A'$ y $B'$. Entonces:

$$ \frac{OA}{OB} = \frac{OA'}{OB'} \quad \text{y} \quad \frac{AA'}{BB'} = \frac{OA}{OB} $$

O dicho de forma más sencilla: los segmentos de una recta y los de la otra guardan la misma proporción.

En el triángulo

La versión más usada en 1º de ESO es con triángulos: si trazamos una recta paralela a un lado de un triángulo, los otros dos lados quedan divididos en segmentos proporcionales.

$$ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} $$

Esto significa que, por ejemplo, si $AD = 4$, $DB = 6$ y $AE = 2$, entonces $EC = 3$, porque la proporción es $4/6 = 2/3$.

Resolver con regla de tres

Cuando conocemos tres de los cuatro segmentos, podemos calcular el cuarto con una proporción:

calcular un segmento desconocido

Dos rectas paralelas cortan a dos secantes. Los segmentos miden $AB = 6$ cm, $BC = 9$ cm y $A'B' = 4$ cm. ¿Cuánto mide $B'C'$?

Planteamos la proporción:

$$ \frac{AB}{BC} = \frac{A'B'}{B'C'} \Rightarrow \frac{6}{9} = \frac{4}{x} $$

Multiplicamos en cruz:

$$ 6 \cdot x = 9 \cdot 4 \Rightarrow 6x = 36 \Rightarrow x = 6 \text{ cm} $$

El segmento $B'C'$ mide 6 cm.

Aplicación: medir alturas con las sombras

Tales de Mileto midió la altura de las pirámides comparando sombras. Como los rayos del sol son paralelos, la altura y su sombra forman un triángulo semejante al del objeto y su sombra:

$$ \frac{\text{altura del objeto}}{\text{altura de referencia}} = \frac{\text{sombra del objeto}}{\text{sombra de referencia}} $$

altura de un árbol con su sombra

A la misma hora, un palo de 1 m proyecta una sombra de 1,5 m, y un árbol proyecta una sombra de 9 m. ¿Cuánto mide el árbol?

$$ \frac{x}{1} = \frac{9}{1{,}5} \Rightarrow x = \frac{9}{1{,}5} = 6 \text{ m} $$

El árbol mide 6 metros.

Una moneda para estimar la distancia a la Luna

Si una moneda tapa justo la Luna cuando la sostenemos delante del ojo, sus tamaños aparentes son iguales. Por semejanza:

$$ \frac{\text{diámetro de la moneda}}{\text{distancia ojo-moneda}} \approx \frac{\text{diámetro de la Luna}}{\text{distancia ojo-Luna}} $$

Para hallar la distancia también hay que conocer el diámetro real de la Luna (aproximadamente $3474$ km); la moneda por sí sola no basta. Es una estimación, porque alinear y medir los bordes con precisión es difícil.

la moneda que tapa la Luna

Una moneda de $2{,}4$ cm, sostenida a $2{,}75$ m del ojo, tapa justo la Luna. Usamos centímetros en ambos lados de la proporción:

$$ \frac{2{,}4}{275} = \frac{3474}{d} \Rightarrow d = \frac{3474\cdot275}{2{,}4} \approx 398\,000\text{ km} $$

La estimación es de unos 398 000 km, cercana a la distancia media real de unos 384 400 km.

Eclipse solar y distancias

Durante un eclipse solar, la Luna pasa delante del Sol. Si se observa el mismo eclipse desde lugares muy separados de la Tierra, la posición aparente de la Luna cambia un poco respecto al Sol: ese desplazamiento es la paralaje. Con la separación entre los observadores y triángulos semejantes se estima la distancia a la Luna. Un eclipse visto desde un único lugar no basta para obtener una distancia absoluta.

La distancia al Sol se compara con la lunar mediante otra observación: cuando la Luna está exactamente en cuarto, el ángulo Sol-Luna-Tierra es recto. Midiendo desde la Tierra el pequeño ángulo entre el Sol y la Luna se obtiene la razón entre sus distancias. Aristarco intentó este método hace más de 2000 años; medir ese ángulo era muy difícil y su resultado fue aproximado. Por tanto, el eclipse ayuda a estimar la distancia lunar, y la geometría del cuarto lunar permite estimar después la solar.

paralaje observada durante un eclipse

Supongamos que dos observatorios separados $6000$ km miden una paralaje de $0{,}9^\circ$. En este modelo simplificado, usamos la mitad de la separación, $3000$ km, y la mitad del ángulo, $0{,}45^\circ$:

$$ \tan(0{,}45^\circ)=\frac{3000}{d} \Rightarrow d=\frac{3000}{\tan(0{,}45^\circ)}\approx382\,000\text{ km} $$

La distancia estimada a la Luna es de unos 382 000 km. En una observación real también se tienen en cuenta la ubicación y altura de los observatorios.

Ejercicio: calcula con la moneda

Una moneda de $2$ cm tapa la Luna cuando está a $230$ cm del ojo. Si el diámetro lunar es $3474$ km, estima la distancia a la Luna.

Solución: $d=3474\cdot230/2=399\,510$ km, aproximadamente 400 000 km.

Ejercicio: paralaje del eclipse

Dos observatorios separados $5000$ km miden una paralaje de $1^\circ$. Usa el modelo simplificado del ejemplo (triángulo simétrico) para estimar la distancia a la Luna.

Solución: $d=2500/\tan(0{,}5^\circ)\approx286\,000$ km. La diferencia con el valor real muestra cómo afectan los errores de medida y las simplificaciones.

Ejercicio: estima la distancia al Sol

Supón que la distancia al Sol es aproximadamente $400$ veces la distancia a la Luna. Si la estimación lunar es $382\,000$ km, ¿qué distancia al Sol resulta?

Solución: $400\cdot382\,000=152\,800\,000$ km, unos 153 millones de kilómetros. El factor 400 es un dato aproximado que procede de medir el ángulo en el método del cuarto lunar; no se deduce del eclipse por sí solo.

Errores comunes

Poner los segmentos en orden equivocado dentro de la proporción (comparar segmentos que no se corresponden).
Olvidar que las rectas que cortan deben ser paralelas entre sí.
Confundir la multiplicación en cruz: en $a/b = c/d$ se cumple $a \cdot d = b \cdot c$.