La raíz cuadrada
La raíz cuadrada de un número $a$ es el número $b$ que al multiplicarse por sí mismo da $a$:
$$
\sqrt{a} = b \quad \text{si} \quad b \cdot b = a
$$
Por ejemplo: $\sqrt{81} = 9$ porque $9 \cdot 9 = 81$.
Los cuadrados perfectos son los números que tienen raíz cuadrada exacta: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, \ldots$
Producto y cociente de raíces
Dos propiedades muy útiles para operar:
$$
\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \qquad \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}
$$
$\sqrt{8} \cdot \sqrt{2}$
Juntamos todo dentro de una sola raíz:
$$
\sqrt{8} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{8 \cdot 2} = \sqrt{16} = 4
$$
El resultado es 4.
$\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}$
$$
\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5
$$
El resultado es 5.
Extraer factores de la raíz
Cuando el número no es un cuadrado perfecto, podemos sacar fuera los factores que sí lo son:
$\sqrt{72}$
Buscamos el mayor cuadrado perfecto que divide a 72: $72 = 36 \cdot 2$, y $\sqrt{36} = 6$.
$$
\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6 \sqrt{2}
$$
El resultado es $6\sqrt{2}$.
Suma de raíces semejantes
Solo se pueden sumar raíces que tengan el mismo número dentro:
$$
3\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = 7\sqrt{2}
$$
Pero no se puede sumar $3\sqrt{2} + 4\sqrt{3}$ de forma directa.
Errores comunes
- Hacer $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$: falso. Por ejemplo, $\sqrt{9 + 16} = 5$, pero $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$.
- Olvidar que $\sqrt{25} = 5$ (no $25$) y que la raíz de un número positivo es positiva.
- Intentar sumar raíces con radicandos distintos como si fueran semejantes.