¿Qué es una potencia?
Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales:
$$
a^n = a \cdot a \cdot a \cdots a \quad (n \text{ veces})
$$
El número $a$ es la base y el número $n$ es el exponente. Por ejemplo, $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.
Propiedades de las potencias
| Propiedad | Fórmula | Ejemplo |
|---|---|---|
| Producto misma base | $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ | $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$ |
| Cociente misma base | $a^m : a^n = a^{m-n}$ | $5^6 : 5^2 = 5^4$ |
| Potencia de una potencia | $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ | $(2^3)^2 = 2^6$ |
| Potencia de un producto | $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ | $(3 \cdot 2)^2 = 3^2 \cdot 2^2$ |
| Potencia de un cociente | $(a : b)^n = a^n : b^n$ | $(6 : 2)^3 = 6^3 : 2^3$ |
| Exponente cero | $a^0 = 1$ | $7^0 = 1$ |
| Exponente uno | $a^1 = a$ | $9^1 = 9$ |
Ejemplos resueltos paso a paso
$2^3 \cdot 2^4$
Misma base: se suman los exponentes.
$$
2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7 = 128
$$
El resultado es 128.
$5^6 : 5^2$
Misma base: se restan los exponentes.
$$
5^6 : 5^2 = 5^{6-2} = 5^4 = 625
$$
El resultado es 625.
$(2^3)^2$
Potencia de una potencia: se multiplican los exponentes.
$$
(2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6 = 64
$$
El resultado es 64.
$(3 \cdot 2)^2$
Se puede calcular de dos formas:
$$
(3 \cdot 2)^2 = 6^2 = 36 \quad \text{o} \quad 3^2 \cdot 2^2 = 9 \cdot 4 = 36
$$
El resultado es 36 en ambos casos.
Errores comunes
- Multiplicar las bases en lugar de sumar los exponentes: $2^3 \cdot 2^4 \neq 4^7$.
- Confundir $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ con $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
- Pensar que $a^0 = 0$: en realidad $a^0 = 1$ para cualquier $a \neq 0$.