Recta tangente a $f$ en $x=a$: $y - f(a) = f'(a)\,(x-a)$; recta normal: $y - f(a) = -\dfrac{1}{f'(a)}(x-a)$
Crecimiento y extremos: si $f'(x)>0$ la función crece y si $f'(x)<0$ decrece; en los puntos donde $f'$ se anula hay extremos relativos (máximo si pasa de $+$ a $-$ y mínimo si pasa de $-$ a $+$).
Concavidad: $f''(x)>0$ implica convexidad (∪) y $f''(x)<0$ concavidad (∩); los puntos donde $f''=0$ y cambia el signo son puntos de inflexión.
Regla de L'Hôpital: si el límite es indeterminado, $\lim \dfrac{f}{g} = \lim \dfrac{f'}{g'}$ cuando el segundo límite existe.
Teoremas: Rolle (si $f(a)=f(b)$ existe $c$ con $f'(c)=0$) y del valor medio ($f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$).
1. ¿Cuál es la derivada de $f(x) = \ln(x^2+1)$?
(1 punto)
Retroalimentación: Aplicando la regla de la cadena: $f'(x) = \dfrac{(x^2+1)'}{x^2+1} = \dfrac{2x}{x^2+1}$.
2. Calcula $f'(1)$ siendo $f(x) = \dfrac{e^x}{x}$.
(1.5 puntos)
Retroalimentación: $f'(x) = \dfrac{e^x\cdot x - e^x\cdot 1}{x^2} = \dfrac{e^x(x-1)}{x^2}$. En $x=1$: $f'(1) = \dfrac{e(1-1)}{1} = 0$.
3. Halla la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f(x) = \ln x$ en el punto de abscisa $x = e$. (Resultado aproximado con dos decimales.)
(1.5 puntos)
Retroalimentación: $f'(x) = \dfrac{1}{x}$, luego $f'(e) = \dfrac{1}{e} \approx 0.3679$. La pendiente es aproximadamente $0.37$.
4. Dada la función $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$, responde a los dos apartados:
(2 puntos)
a
)
Apartado a): ¿Cuántos puntos críticos (candidatos a extremo) tiene $f$?
b
)
Apartado b): ¿Cuánto vale el máximo relativo de $f$?
Retroalimentación:
5. El teorema del valor medio asegura que, si $f$ es continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$, entonces existe $c \in (a,b)$ tal que $f'(c)$ es igual a:
(1.5 puntos)
Retroalimentación: El teorema del valor medio (o de Lagrange) afirma que existe $c$ con $f'(c) = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
6. Con una cuerda de 20 metros se quiere cercar un rectángulo de área máxima. ¿Cuál es el área máxima que se puede obtener?
(1.5 puntos)
Retroalimentación: Si los lados son $x$ y $10-x$, el área es $A(x) = x(10-x) = 10x - x^2$. Derivando: $A'(x) = 10 - 2x = 0 \Rightarrow x = 5$ (máximo, pues $A''=-2<0$). El área máxima es $A(5) = 25$ m$^2$.
7. ¿Cuánto vale la derivada tercera de $f(x) = x^4$ en el punto $x = 1$?
(1 punto)
Retroalimentación: $f'(x) = 4x^3$, $f''(x) = 12x^2$, $f'''(x) = 24x$. Por tanto $f'''(1) = 24$.