Concavidad y convexidad

La segunda derivada $f''(x)$ nos informa de la forma (curvatura) de la gráfica de una función:

  • Si $f''(x) > 0$ en un intervalo, la función es convexa en ese intervalo (la gráfica queda por encima de sus tangentes, forma de ∪).
  • Si $f''(x) < 0$ en un intervalo, la función es cóncava (la gráfica queda por debajo de sus tangentes, forma de ∩).
Atención (nomenclatura): algunos libros usan la convención contraria. En este curso, convexa = ∪ y cóncava = ∩.

Puntos de inflexión

Un punto de inflexión es un punto donde la función cambia de concavidad a convexidad (o al revés), es decir, donde la gráfica cambia de curvatura.

Condición necesaria: si $f$ tiene un punto de inflexión en $x = c$ y $f''$ existe, entonces

$$ f''(c) = 0 $$

Condición suficiente: si $f''(c) = 0$ y $f''$ cambia de signo al pasar por $c$, entonces hay un punto de inflexión en $x = c$.

Método de estudio

1. Calcular $f''(x)$. 2. Resolver $f''(x) = 0$ para hallar los candidatos. 3. Estudiar el signo de $f''$ en cada intervalo (tabla de signos). 4. Concluir: donde $f'' > 0$ hay convexidad; donde $f'' < 0$ hay concavidad; donde cambia el signo hay punto de inflexión.

Ejemplos resueltos

$f(x) = x^3$

$f'(x) = 3x^2$ y $f''(x) = 6x$.

  • $f''(x) = 0 \Rightarrow x = 0$.
  • Para $x < 0$: $f'' < 0$ (cóncava). Para $x > 0$: $f'' > 0$ (convexa).
  • En $x = 0$ cambia el signo: hay un punto de inflexión en $(0, 0)$.
$f(x) = x^4 - 6x^2$

$f''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x^2 - 1)$.

  • $f''(x) = 0 \Rightarrow x = \pm 1$.
  • $x < -1$: $f'' > 0$ (convexa). $-1 < x < 1$: $f'' < 0$ (cóncava). $x > 1$: $f'' > 0$ (convexa).
  • Hay puntos de inflexión en $x = -1$ y $x = 1$: los puntos $(-1, f(-1)) = (-1, -5)$ y $(1, f(1)) = (1, -5)$.

Errores comunes

  • Confundir convexa y cóncava: recuerda el criterio del signo de $f''$.
  • Creer que $f''(c) = 0$ implica punto de inflexión: hace falta además que cambie el signo (por ejemplo, $f(x) = x^4$ cumple $f''(0) = 0$ pero no tiene punto de inflexión en $x = 0$).
  • Olvidar que los puntos de inflexión se dan como puntos $(c, f(c))$ y no solo como abscisas.

1. Si $f''(x) > 0$ en un intervalo, la función $f$ es: (1 puntos)

2. ¿En qué abscisa tiene un punto de inflexión la función $f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$? (1 puntos)

3. La función $f(x) = x^4 - 6x^2$ es cóncava en el intervalo: (1 puntos)

4. Dada la función $f(x) = x^3$, responde a los dos apartados: (1 puntos)

a ) Apartado a): ¿Cuánto vale $f''(0)$?

b ) Apartado b): ¿Cuántos puntos de inflexión tiene $f$?

5. ¿Cuántos puntos de inflexión tiene la función $f(x) = x^4 - 6x^2 + 5$? (1 puntos)

6. En un punto de inflexión de una función derivable dos veces, se cumple que: (1 puntos)