Derivadas sucesivas
Si $f$ es derivable, su derivada $f'$ es una nueva función que también puede ser derivable. Así se obtienen las derivadas de orden superior (derivadas sucesivas):
$$
f''(x) = \left(f'(x)\right)', \qquad f'''(x) = \left(f''(x)\right)', \qquad f^{(n)}(x) = \left(f^{(n-1)}(x)\right)'
$$
Notaciones
| Orden | Notación de Lagrange | Notación de Leibniz |
|---|---|---|
| 1ª derivada | $f'(x)$ | $\dfrac{dy}{dx}$ |
| 2ª derivada | $f''(x)$ | $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ |
| 3ª derivada | $f'''(x)$ | $\dfrac{d^3y}{dx^3}$ |
| $n$-ésima | $f^{(n)}(x)$ | $\dfrac{d^n y}{dx^n}$ |
Derivadas n-ésimas de funciones elementales
- Polinomios: $(x^m)^{(n)} = m(m-1)\cdots(m-n+1)\,x^{m-n}$ (si $n \leq m$; si $n > m$ la derivada es 0).
- Exponencial: $(e^{kx})^{(n)} = k^n e^{kx}$.
- Seno y coseno: $(\sin x)^{(n)} = \sin\left(x + \dfrac{n\pi}{2}\right)$ y $(\cos x)^{(n)} = \cos\left(x + \dfrac{n\pi}{2}\right)$.
- Logaritmo: $\left(\ln x\right)' = \dfrac{1}{x}$, $\left(\ln x\right)'' = -\dfrac{1}{x^2}$, $\left(\ln x\right)''' = \dfrac{2}{x^3}$, y en general $(\ln x)^{(n)} = \dfrac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}$.
Ejemplos resueltos
$f(x) = x^4$
$f'(x) = 4x^3$, $f''(x) = 12x^2$, $f'''(x) = 24x$, $f^{(4)}(x) = 24$ y $f^{(5)}(x) = 0$.
A partir del orden 5, todas las derivadas son nulas, porque el grado del polinomio es 4.
$f(x) = e^{3x}$
$f'(x) = 3e^{3x}$, $f''(x) = 9e^{3x}$, $f'''(x) = 27e^{3x}$. En general, $f^{(n)}(x) = 3^n e^{3x}$.
$f(x) = \sin x$
$f'(x) = \cos x$, $f''(x) = -\sin x$, $f'''(x) = -\cos x$, $f^{(4)}(x) = \sin x$.
Las derivadas se repiten en ciclos de 4 órdenes.
Aplicaciones
- Física: la aceleración es la derivada segunda de la posición respecto del tiempo: $a(t) = s''(t)$.
- Análisis de funciones: $f''$ decide la concavidad y los puntos de inflexión; $f'''$ puede usarse para confirmar un punto de inflexión.
- Aproximación: los polinomios de Taylor usan las derivadas sucesivas en un punto.