Esquema del estudio completo de una función
Para estudiar y representar una función $f$ hay que seguir, en orden, estos pasos:
1. Dominio: valores de $x$ donde $f$ está definida. 2. Cortes con los ejes: - Eje OX: resolver $f(x) = 0$. - Eje OY: punto $(0, f(0))$ (si existe). 3. Simetrías: si $f(-x) = f(x)$ es par (simétrica respecto del eje OY); si $f(-x) = -f(x)$ es impar (simétrica respecto del origen). 4. Asíntotas: - Verticales: en $x = a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$. - Horizontales: si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$, la recta $y = L$. - Oblicuas: si $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x} = m \neq 0$ y $\lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = n$, la recta $y = mx + n$. 5. Monotonía y extremos: estudiar el signo de $f'$; donde $f' > 0$ crece y donde $f' < 0$ decrece. Los puntos donde $f' = 0$ son candidatos a extremos relativos (máximo si pasa de crecer a decrecer, mínimo si pasa de decrecer a crecer). 6. Concavidad y puntos de inflexión: estudiar el signo de $f''$ (convexa si $f'' > 0$, cóncava si $f'' < 0$); donde $f'' = 0$ y cambia de signo hay punto de inflexión. 7. Representación gráfica con toda la información recopilada.
Ejemplo completo resuelto
Estudiar $f(x) = \dfrac{x^2}{x-1}$
1. Dominio: el denominador se anula en $x = 1$: $\text{Dom} = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.
2. Cortes: $f(x) = 0 \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$ (punto $(0,0)$). Con OY: $f(0) = 0$, el mismo punto.
3. Simetría: $f(-x) = \dfrac{x^2}{-x-1} \neq f(x)$ ni $-f(x)$: no hay simetrías.
4. Asíntotas:
- Vertical: $\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2}{x-1} = \pm\infty$, luego $x = 1$.
- Oblicua: $\dfrac{x^2}{x-1} = x + 1 + \dfrac{1}{x-1}$, luego $y = x + 1$. No hay horizontal.
5. Monotonía: $f'(x) = \dfrac{2x(x-1) - x^2}{(x-1)^2} = \dfrac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}$.
Signo de $f'$: positiva en $(-\infty, 0)$ y $(2, +\infty)$; negativa en $(0,1)$ y $(1,2)$. Hay máximo en $x = 0$ (punto $(0,0)$) y mínimo en $x = 2$ (punto $(2, 4)$).
6. Concavidad: $f''(x) = \dfrac{2}{(x-1)^3}$: negativa en $(-\infty, 1)$ (cóncava) y positiva en $(1, +\infty)$ (convexa). No hay puntos de inflexión ($f''$ nunca se anula).
Errores comunes
- Olvidar el dominio antes de calcular asíntotas o cortes.
- Confundir el criterio de $f''$ (concavidad) con el de $f'$ (crecimiento).
- En las asíntotas oblicuas, no comprobar que $m \neq 0$ ni que el límite de $f(x) - mx$ sea finito.
- No comprobar que los candidatos a extremo pertenezcan al dominio.