Definición de extremo relativo

  • $f$ tiene un máximo relativo en $x = c$ si existe un entorno de $c$ donde $f(x) \leq f(c)$ para todo $x$.
  • $f$ tiene un mínimo relativo en $x = c$ si existe un entorno de $c$ donde $f(x) \geq f(c)$ para todo $x$.

Teorema de Fermat (condición necesaria)

Si $f$ alcanza un extremo relativo en $x = c$ y $f$ es derivable en $c$, entonces

$$ f'(c) = 0 $$

Candidatos a extremo: los puntos donde $f'(x) = 0$ (puntos críticos o estacionarios) y los puntos donde $f$ no es derivable.

Importante: la condición es necesaria pero no suficiente: si $f'(c) = 0$ no tiene por qué haber extremo (por ejemplo, en $f(x) = x^3$ se tiene $f'(0) = 0$ y no hay extremo en $x = 0$).

Criterio de la primera derivada

Se estudia el signo de $f'$ alrededor del punto crítico $c$:

  • Si $f'$ pasa de positiva a negativa en $c$: máximo relativo.
  • Si $f'$ pasa de negativa a positiva en $c$: mínimo relativo.
  • Si $f'$ no cambia de signo: no hay extremo (punto de inflexión con tangente horizontal).

Criterio de la segunda derivada

Si $f'(c) = 0$ y $f''$ existe y es continua cerca de $c$:

  • Si $f''(c) < 0$: máximo relativo.
  • Si $f''(c) > 0$: mínimo relativo.
  • Si $f''(c) = 0$: el criterio no decide (hay que usar el de la primera derivada).

Ejemplo resuelto

Extremos de $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$

Paso 1. $f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)$: puntos críticos $x = 0$ y $x = 2$.

Paso 2 (criterio de $f''$). $f''(x) = 6x - 6$.

  • $f''(0) = -6 < 0$: máximo relativo en $x = 0$, con $f(0) = 2$.
  • $f''(2) = 6 > 0$: mínimo relativo en $x = 2$, con $f(2) = 8 - 12 + 2 = -2$.

Comprobación con $f'$: $f'$ pasa de $+$ a $-$ en $x=0$ y de $-$ a $+$ en $x=2$. Coincide.

Errores comunes

  • Confundir extremos relativos con valores absolutos (globales): un extremo relativo solo exige comparar con puntos cercanos.
  • Olvidar que $f'(c) = 0$ no garantiza extremo.
  • No comprobar que el punto crítico pertenezca al dominio de la función.

1. Si $f$ es derivable y tiene un máximo relativo en $x = c$, entonces necesariamente: (1 puntos)

2. ¿Cuál es el valor del máximo relativo de $f(x) = -x^2 + 4x - 1$? (1 puntos)

3. ¿Cuántos puntos críticos (donde $f' = 0$) tiene la función $f(x) = x^3 - 3x$? (1 puntos)

4. Dada la función $f(x) = x^3 - 3x^2$, responde a los dos apartados: (1 puntos)

a ) Apartado a): ¿Cuántos extremos relativos tiene $f$?

b ) Apartado b): ¿Cuánto vale el máximo relativo de $f$?

5. La función $f(x) = x^3$ en $x = 0$: (1 puntos)

6. ¿Cuántos mínimos relativos tiene la función $f(x) = x^4 - 8x^2$? (1 puntos)

7. Según el criterio de la segunda derivada, si $f'(c) = 0$ y $f''(c) > 0$, entonces en $x = c$ hay: (1 puntos)